Question

如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作DH⊥AC于点H．

（1）判断DH与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）求证：H为CE的中点；

（3）若BC=10，cosC=，求AE的长．

Answer

（1）相切；（2）证明见解析；（3）．

【解析】

试题分析：（1）连结OD、AD，如图，先利用圆周角定理得到∠ADB=90°，则根据等腰三角形的性质得BD=CD，再证明OD为△ABC的中位线得到OD∥AC，加上DH⊥AC，所以OD⊥DH，然后根据切线的判定定理可判断DH为⊙O的切线；

（2）连结DE，如图，有圆内接四边形的性质得∠DEC=∠B，再证明∠DEC=∠C，然后根据等腰三角形的性质得到CH=EH；

（3）利用余弦的定义，在Rt△ADC中可计算出AC=，在Rt△CDH中可计算出CH=，则CE=2CH=，然后计算AC﹣CE即可得到AE的长．

试题解析：（1）DH与⊙O相切．理由如下：

连结OD、AD，如图，∵AB为直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=CD，而AO=BO，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DH⊥AC，∴OD⊥DH，∴DH为⊙O的切线；

（2）证明：连结DE，如图，∵四边形ABDE为⊙O的内接四边形，∴∠DEC=∠B，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠DEC=∠C，∵DH⊥CE，∴CH=EH，即H为CE的中点；

（3）【解析】
在Rt△ADC中，CD=BC=5，∵cosC==，∴AC=，在Rt△CDH中，∵cosC==，∴CH=，∴CE=2CH=，∴AE=AC﹣CE==．

考点：圆的综合题；综合题；探究型．