Question

如图，抛物线（a≠0）经过A（-1，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

（2）点P在抛物线的对称轴上，当△ACP的周长最小时，求出点P的坐标；

（3） 点N在抛物线上，点M在抛物线的对称轴上，是否存在以点N为直角顶点的Rt△DNM与Rt△BOC相似，若存在，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1），D（，）；（2）P（，）；（3）存在．N（，）或（，）或（，）或（，）．

【解析】

试题分析：（1）利用待定系数法求出抛物线解析式；

（2）确定出当△ACP的周长最小时，点P就是BC和对称轴的交点，利用两点间的距离公式计算即可；

（3）作出辅助线，利用tan∠MDN=2或，建立关于点N的横坐标的方程，求出即可．

试题解析：（1）由于抛物线 （a≠0）经过A（-1，0），B（2，0）两点，因此把A、B两点的坐标代入 （a≠0），可得：；解方程组可得：，故抛物线的解析式为：，∵=，所以D的坐标为（，）．

（2）如图1，设P（，k），∵，∴C（0，－1），∵A（-1，0），B（2，0），∴A、B两点关于对称轴对称，连接CB交对称轴于点P，则△ACP的周长最小．设直线BC为y=kx+b，则：，解得：，∴直线BC为：．当x=时，=，∴P（，）；

（3）存在．如图2，过点作NF⊥DM，∵B（2，0），C（0，﹣1），∴OB=2，OC=1，∴tan∠OBC=，tan∠OCB==2，设点N（m，），∴FN=|m﹣|，FD=||=||，∵Rt△DNM与Rt△BOC相似，∴∠MDN=∠OBC，或∠MDN=∠OCB；

①当∠MDN=∠OBC时，∴tan∠MDN==，∴，∴m=（舍）或m=或m=，∴N（，）或（，）；

②当∠MDN=∠OCB时，∴tan∠MDN==2，∴，∴m=（舍）或m=或m=，∴N（，）或（，）；

∴符合条件的点N的坐标（，）或（，）或（，）或（，）．

考点：二次函数综合题；相似三角形的判定与性质；分类讨论；压轴题．