Question

如图，公路AB为东西走向，在点A北偏东36.5°方向上，距离5千米处是村庄M；在点A北偏东53.5°方向上，距离10百米处是村庄N（参考数据；sin36.5°=0.6，cos36.5°=0.8，tan36.5°=0.75，sin23.6°=0.4，cos66.4°=0.4，tan21.8°=0.4）．

（1）求M，N两村之间的距离；

（2）试问村庄N在村庄M的什么方向上？（精确到0.1度）

Answer

（1）km；（2）北偏东68.2°方向上．

【解析】

试题分析：（1）建立直角三角形，过点M作CD∥AB，NE⊥AB，在Rt△ACM中求出CM，AC，在Rt△ANE中求出NE，AE，继而得出MD，ND的长度，在Rt△MND中利用勾股定理可得出MN的长度；（2）求出∠NMD的互余角是解题的关键，在Rt△MND中，根据tan∠NMD===0.4km，再根据tan21.8°=0.4，得出∠NMD=21.8°，再根据∠MND=90°﹣∠NMD，即可得出村庄N在村庄M的北偏东68.2°方向上．

试题解析：（1）如图：过点M作CD∥AB，NE⊥AB：

，在Rt△ACM中，∠CAM=36.5°，AM=5km，∵sin36.5°==0.6，∴CM=3，AC==4km，在Rt△ANE中，∠NAE=90°﹣53.5°=36.5°，AN=10km，∵sin36.5°==0.6，∴NE=6，AE==8km，∴MD=CD﹣CM=AE﹣CM=8-3=5km，ND=NE﹣DE=NE﹣AC=6-4=2km，在Rt△MND中，MN==（km）；（2）在Rt△MND中，tan∠NMD===0.4（km），∴∠NMD=21.8°，∴∠NMD的互余角=∠MND=90°﹣21.8°=68.2°，∴村庄N在村庄M的北偏东68.2°方向上．

考点：解直角三角形.