Question

如图1，在菱形ABCD中，AC=2，∠ABC=60°，AC，BD相交于点O．

（1）如图1，AH⊥BC，求证：△ABH≌△ACH；

（2）如图2，将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处，绕点A左右旋转，其中三角板60°角的两边分别与边BC，CD相交于点E，F，连接EF与AC相交于点G．

①判断△AEF是哪一种特殊三角形，并说明理由；

②旋转过程中，当点E为边BC的四等分点时（BE＞CE），求CG的长．

Answer

（1）见解析；

（2）①△AEF是等边三角形，理由见解析；②

【解析】

试题分析：（1）由菱形的性质得到AB=AC，从而用HL判定出△ABH≌△ACH．

（2）由菱形的性质得到AB=AC，结合∠ABC=60°得到AC=AD，再判断出△BAC≌△CAF，△AEB≌△EGC即可；

试题解析：（1）∵四边形ABCD是菱形，且AC=2，∴AB=BC=2，

∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=2，

∵AH⊥BC，∴∠ABH=∠ACH=90°，在Rt△ABH和Rt△ACH中，，

∴△ABH≌△ACH（HL），

（2）①△AEF是等边三角形，

理由：

∵四边形ABCD是菱形，且∠ABC=60°，∴△ABC和△ACD是等边三角形，∴∠ABC=∠BAC=∠ACD=60°，

∵∠EAF=60°，∴∠EAC+∠BAE=∠EAC+∠CAF=60°，∴∠BAE=∠CAF，又∵AB=AC，

∴△BAC≌△CAF，∴AE=AF，又∵∠EAF=60°，∴△AEF是等边三角形，

②∵△AEF和△ABC是等边三角形，∴∠AEF=∠ABC=∠ACB=60°，

∴∠AEB+∠BAE=∠AEB+∠GEC=120°，∴∠BAE=∠GEC，∴△AEB≌△EGC，

∴，又∵EC=BC=AB，∴CG=BE=BC=．

考点：四边形综合题．