Question

抛物线y=ax²+bx+4A（1，﹣1），B（5，﹣1），与y轴交于点C．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）如图1，连接CB，若点P在直线BC上方的抛物线上，△BCP的面积为15，求点P的坐标；

（3）如图2，⊙O₁过点A、B、C三点，AE为直径，点M为弧ACE上的一动点（不与点A，E重合），∠MBN为直角，边BN与ME的延长线交于N，求线段BN长度的最大值．

Answer

（1）y=x2﹣6x+4；（2）（6，4）或（﹣1，11）（3）

【解析】

试题分析：（1）将点A、B的坐标代入抛物线的解析式，得到关于a、b的方程，从而可求得a、b的值；

（2）设点P的坐标为P（m，m2﹣6m+4），根据=15，由，得到关于m的方程求得m的值，从而可求得点P的坐标；

（3）首先证明△EAB∽△NMB，从而可得到NB=，当MB为圆的直径时，NB有最大值．

试题解析：（1）将点A、B的坐标代入抛物线的解析式得：，

解得：．

∴抛物线得解析式为y=x2﹣6x+4；

（2）如图所示：

设点P的坐标为P（m，m2﹣6m+4）

∵S△CBP=15，即：S△CBP=S梯形CEDP﹣S△CEB﹣S△PBD，

∴m（5+m2﹣6m+4+1）﹣×5×5﹣（m﹣5）（m2﹣6m+5）=15，

化简得：m2﹣5m﹣6=0，

解得：m=6，或m=﹣1，

∴点P的坐标为（6，4）或（﹣1，11），

（3）连接AB、EB，

∵AE是圆的直径，

∴∠ABE=90°，

∴∠ABE=∠MBN，

又∵∠EAB=∠EMB，

∴△EAB∽△NMB，

∵A（1，﹣1），B（5，﹣1），

∴点O1的横坐标为3，

将x=0代入抛物线的解析式得：y=4，

∴点C的坐标为（0，4），

设点O1的坐标为（3，m），

∵O1C=O1A，

∴=，

解得：m=2，

∴点O1的坐标为（3，2），

∴O1A=，

在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE===6，

∴点E的坐标为（5，5），

∴AB=4，BE=6，

∵△EAB∽△NMB，

∴，

∴，

∴NB=BM，

∴当MB为直径时，MB最大，此时NB最大，

∴MB=AE=2，

∴NB=×2=3．

考点：1、二次函数的综合应用，2、相似三角形的判定和性质，3、勾股定理，4、圆周角定理