Question

如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AD⊥CD于点D．

（1）求证：AC平分∠DAB；

（2）若点E为的中点，AD=，AC=8，求AB和CE的长．

Answer

（1）证明见解析（2）AB=10，CE=7

【解析】

试题分析：（1）首先连接OC，由直线CD与⊙O相切于点C，AD⊥CD，易证得OC∥AD，继而可得AC平分∠DAB；

（2）首先连接BC，OE，过点A作AF⊥CE于点F，可证得△ADC∽△ACB，△ACB∽△AFE，△ACF是等腰直角三角形，然后由相似三角形的对应边成比例以及勾股定理，即可求得答案．

试题解析：（1）连接OC，

∵直线CD与⊙O相切于点C，

∴OC⊥CD，

∵AD⊥CD，

∴OC∥AD，

∴∠DAC=∠OCA，

∵OA=OC，

∴∠OCA=∠OAC，

∴∠OAC=∠DAC，

即AC平分∠DAB；

（2）连接BC，OE，过点A作AF⊥EC于点F，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠ACB=∠ADC，

∵∠DAC=∠BAC，

∴△ADC∽△ACB，

∴，

即，

解得：AB=10，

∴BC==6，

∵点E为的中点，

∴∠AOE=90°，

∴OE=OA=AB=5，

∴AE==5，

∵∠AEF=∠B（同弧所对圆周角相等），∠AFE=∠ACB=90°，

∴△ACB∽△AFE，

∴，

∴，

∴AF=4，EF=3，

∵∠ACF=∠AOE=45°，

∴△ACF是等腰直角三角形，

∴CF=AF=4，

∴CE=CF+EF=7．

考点：1、切线的性质，2、相似三角形的判定与性质，3、勾股定理，4、等腰直角三角形性质