Question

已知等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，动点P在直线BC上运动（不与点B、C重合）．

（1）如图1，点P在线段BC上，作∠APQ=45°，PQ交AC于点Q．

①求证：△ABP∽△PCQ；②当△APQ是等腰三角形时，求AQ的长．

（2）①如图2，点P在BC的延长线上，作∠APQ=45°，PQ的反向延长线与AC的延长线相交于点D，是否存在点P，使△APD是等腰三角形？若存在，写出点P的位置；若不存在，请简要说明理由；

②如图3，点P在CB的延长线上，作∠APQ=45°，PQ的延长线与AC的延长线相交于点Q，是否存在点P，使△APQ是等腰三角形？若存在，写出点P的位置；若不存在，请简要说明理由．

Answer

（1）①△ABP∽△PCQ；②AQ=4﹣2或1；

（2）①PC= 2；②不存在

【解析】

试题分析：（1）①根据等腰直角三角形的性质得到∠B=∠C=45°，证明∠BAP=∠QPC，根据相似三角形的判定定理证明结论；

②分AP=AQ、AP=PQ和AQ=PQ三种情况，根据等腰三角形的性质、相似三角形的性质解答；

（2）根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定定理证明△CAP∽△PAD，根据相似三角形的性质计算即可；

（3）根据三角形内角和定理进行判断即可．

试题解析：（1）①∵∠BAC=90°，AB=AC=2，

∴∠B=∠C=45°，

∵∠BAP+∠APB=135°，

∠APB+∠QPC=135°，

∴∠BAP=∠QPC，

∴△ABP∽△PCQ；

②当AP=AQ时，∠APQ=∠AQP=45°，

∴∠PAQ=90°，

∴点P与点B、点Q与点C重合，不合题意；

当AP=PQ时，∵△ABP∽△PCQ，

∴△ABP≌△PCQ，

∴AB=PC=2，

∴BP=CQ=2﹣2，

∴AQ=AC﹣CQ=4﹣2；

当AQ=PQ时，∠PAQ=∠APQ=45°，

∴∠APC=∠AQP=90°，

∴AQ=PQ=QC=1；

（2）①存在，

∵∠ACB=90°，

∴∠CAP+∠APC=45°，

∵∠APQ=45°，

∴∠CAP+∠D=45°，

∴∠APC=∠D，

∴△CAP∽△PAD，

∴，又AP=PD，

∴PC=AC=2；

②不存在，

∵P和B不重合，

∴∠PAQ＞90°，

∴∠APQ=45°，∠AQP＜45°，

∴AP≠AQ．

考点：相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质