Question

如图，阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．

已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE． 求证：AB=CD．

分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要要证AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形请用二种不同的方法证明．

Answer

见解析

【解析】

试题分析：方法一：如图1中，作BF⊥DE于点F，CG⊥DE于点G，先证明△BFE≌△CGE，得BF=CG，再证明△ABF≌△DCG即可．

方法二如图2中，：作CF∥AB，交DE的延长线于点F，先证明CF=CD，再证明△ABE≌△FCE即可．

证明：方法一：如图1中，作BF⊥DE于点F，CG⊥DE于点G．

∴∠F=∠CGE=90°，

在△BFE和△CGE中，

，

∴△BFE≌△CGE．

∴BF=CG．

在△ABF和△DCG中，

，

∴△ABF≌△DCG．

∴AB=CD．

方法二如图2中，：作CF∥AB，交DE的延长线于点F．

∴∠F=∠BAE．

又∵∠ABE=∠D，

∴∠F=∠D．

∴CF=CD．

在△ABE和△FCE中，

，

∴△ABE≌△FCE．

∴AB=CF．

∴AB=CD．