Question

如图，在平面直角坐标系中，直线l平行x轴，交y轴于点A，第一象限内的点B在l上，连结OB，动点P满足∠APQ=90°，PQ交x轴于点C．

（1）当动点P与点B重合时，若点B的坐标是（2，1），求PA的长．

（2）当动点P在线段OB的延长线上时，若点A的纵坐标与点B的横坐标相等，求PA：PC的值．

（3）在（2）的条件下，已知AB=3，OB:BP=3：1，求四边形AOCP的面积.

Answer

（1）、PA=2；（2）、1:1；（3）、16.

【解析】

试题分析：（1）、根据点P与点B重合，得出PA的长度；（2）、过点P作PM⊥x轴，过点P作PN⊥y轴，根据点A的纵坐标和点B的横坐标相等得出OA=OB，根据∠OAB=90°可得∠AOB=∠ABO=45°，结合角度之间的关系得出△ANP和△CMP全等得出PA=PC，从而得到比值；（3）、根据∠ANP=∠MON=∠OMP =90°得出四边形OMPN为矩形，根据PM=PN得出四边形OMPN为正方形，根据OA=AB=3，得出OB、BP、OP的长度，根据△ANP和△CMP全等得出四边形的面积.

试题解析：（1）、∵点P与点B重合，点B的坐标是（2，1），

∴点P的坐标是（2，1）．

∴PA的长为2．

（2）、过点P作PM⊥x轴，垂足为M，过点P作PN⊥y轴，垂足为N，如图1所示

∵点A的纵坐标与点B的横坐标相等，

∴OA=AB．

∵∠OAB=90°，

∴∠AOB=∠ABO=45°

∵∠AOC=90°，

∴∠POC=45°

∵PM⊥x轴，PN⊥y轴，

∴PM=PN，∠ANP=∠CMP=∠OMP =90°

∴∠NPM=90°

∵∠APC=90°

∴∠APN=90°﹣∠APM=∠CPM

在△ANP和△CMP中，

∵∠APN=∠CPM，PN=PM，∠ANP=∠CMP，

∴△ANP≌△CMP．

∴PA=PC．

∴PA：PC的值为1：1

（3）、∵∠ANP=∠MON=∠OMP =90°

∴四边形OMPN为矩形

∵PM=PN

∴四边形OMPN为正方形

∵∠OAB=90°，OA=AB=3

∴OB=

∵OB:BP=3：1

∴BP=

∴OP=

∴正方形OMPN=

∵△ANP≌△CMP．

∴S△ANP≌S△CMP．

∴四边形AOCO=正方形OMPN=16

考点：（1）、矩形的性质；（2）、正方形的性质；（3）、三角形全等.