Question

如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，把矩形沿直线AC折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．

（1）求证：△DEC≌△EDA；（2）求DF的值；（3）在线段AB上找一点P，连结FP使FP⊥AC，连结PC，试判定四边形APCF的形状，并说明理由，直接写出此时线段PF的大小

Answer

（1）、证明过程见解析；（2）、DF=；（3）、PF=

【解析】

试题分析：（1）、根据矩形的可得AD=BC，AB=CD，根据折叠图形可得BC=EC，AE=AB，则可得AD=CE，AE=CD，从而得到三角形全等；（2）、设DF=x，则AF=CF=4－x，根据Rt△ADF的勾股定理求出x的值；（3）、根据菱形的性质进行求解.

试题解析：（1）、∵矩形ABCD

∴AD=BC,AB=CD,AB∥CD

∴∠ACD=∠CAB

∵△AEC由△ABC翻折得到

∴AB=AE,BC=EC, ∠CAE=∠CAB

∴AD=CE，DC=EA，∠ACD=∠CAE，

在△ADE与△CED中

∴△DEC≌△EDA（SSS）；

（2）、如图，∵∠ACD=∠CAE，

∴AF=CF，

设DF=x，则AF=CF=4﹣x，

在RT△ADF中，AD2+DF2=AF2，

即32+x2=（4﹣x）2，

解得；x=，

即DF=．

（3）、四边形APCF为菱形 设AC、FP相较于点O

∵FP⊥AC

∴∠AOF=∠AOP

又∵∠CAE=∠CAB，

∴∠APF=∠AFP

∴AF=AP

∴FC=AP

又∵AB∥CD

∴四边形APCF是平行四边形

又∵FP⊥AC

∴四边形APCF为菱形

PF=

考点：（1）、折叠图形的性质；（2）、菱形的性质；（3）、三角形全等；（4）、勾股定理.