Question

【阅读学习】 刘老师提出这样一个问题：已知α为锐角，且tanα=，求sin2α的值．

小娟是这样解决的：

如图1，在⊙O中，AB是直径，点C在⊙O上，∠BAC=α，所以∠ACB=90°，tanα= = ．

易得∠BOC=2α．设BC=x，则AC=3x，则AB=x．作CD⊥AB于D，求出CD=     （用含x的式子表示），可求得sin2α==     ．

【问题解决】

已知，如图2，点M、N、P为圆O上的三点，且∠P=β，tanβ = ，求sin2β的值.

Answer

（1）、CD=；sin2α=；（2）、.

【解析】

试题分析：（1）、根据题意的方法得出CD和sin2α的值；（2）、连接NO，并延长交⊙O于Q,连接MQ，MO，作MH⊥NO于H，设MN=k，则MQ=2k，NQ=k，OM=k，根据等面积法求出MH的长度，然后根据Rt△MHO计算三角函数的值.

试题解析：（1）、． sin2α==．

（2）、如图，连接NO，并延长交⊙O于Q,连接MQ，MO，作MH⊥NO于H．

在⊙O中，∠NMQ=90°．

∵∠Q=∠P=β，OM=ON，

∴ ∠MON=2∠Q=2β

∵ tanβ=，

∴设MN=k，则MQ=2k，

∴NQ=．

∴OM=NQ=．

∵，

∴ ．

∴ MH=．

在Rt△MHO中，sin2β=sin∠MON =．

考点：（1）、圆的基本性质；（2）、三角函数的计算.