Question

如图，正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为（﹣4，4）．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动，规定点P到达点O时，点Q也停止运动．连接BP，过P点作BP的垂线，与过点Q平行于y轴的直线l相交于点D．BD与y轴交于点E，连接PE．设点P运动的时间为t（s）．

（1）∠PBD的度数为          ，点D的坐标为              （用t表示）；

（2）当t为何值时，△PBE为等腰三角形？

（3）探索△POE周长是否随时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值．

Answer

（1）45°，（t，t）；（2）t为4秒或（）秒；（3）△POE周长是定值，该定值为8．

【解析】

试题分析：（1）易证△BAP≌△PQD，从而得到DQ=AP=t，从而可以求出∠PBD的度数和点D的坐标．

（2）由于∠EBP=45°，故图1是以正方形为背景的一个基本图形，容易得到EP=AP+CE．由于△PBE底边不定，故分三种情况讨论，借助于三角形全等及勾股定理进行求解，然后结合条件进行取舍，最终确定符合要求的t值．

（3）由（2）已证的结论EP=AP+CE很容易得到△POE周长等于AO+CO=8，从而解决问题．

试题解析：（1）如图1，由题可得：AP=OQ=1×t=t（秒）

∴AO=PQ．

∵四边形OABC是正方形，∴AO=AB=BC=OC，∠BAO=∠AOC=∠OCB=∠ABC=90°．

∵DP⊥BP，∴∠BPD=90°，∴∠BPA=90°﹣∠DPQ=∠PDQ．

∵AO=PQ，AO=AB，∴AB=PQ．

在△BAP和△PQD中，∵∠BAP=∠PQD，∠BPA=∠PDQ，AB=PQ，∴△BAP≌△PQD（AAS），∴AP=QD，BP=PD．∵∠BPD=90°，BP=PD，∴∠PBD=∠PDB=45°．∵AP=t，∴DQ=t，∴点D坐标为（t，t）．

故答案为：45°，（t，t）．

（2）①若PB=PE，由△PAB≌△DQP得PB=PD，显然PB≠PE，∴这种情况应舍去．

②若EB=EP，则∠PBE=∠BPE=45°，∴∠BEP=90°，∴∠PEO=90°﹣∠BEC=∠EBC．

在△POE和△ECB中，∵∠PEO=∠EBC，∠POE=∠ECB，EP=BE，∴△POE≌△ECB（AAS），∴OE=CB=OC，∴点E与点C重合（EC=0），∴点P与点O重合（PO=0）．

∵点B（﹣4，4），∴AO=CO=4．此时t=AP=AO=4．

③若BP=BE，在Rt△BAP和Rt△BCE中，∵BA=BC，BP=BE，∴Rt△BAP≌Rt△BCE（HL），∴AP=CE．

∵AP=t，∴CE=t，∴PO=EO=4﹣t．

∵∠POE=90°，∴PE==．

延长OA到点F，使得AF=CE，连接BF，如图2所示．在△FAB和△ECB中，∵AB=CB，∠BAF=∠BCE=90°，AF=CE，∴△FAB≌△ECB，∴FB=EB，∠FBA=∠EBC．

∵∠EBP=45°，∠ABC=90°，∴∠ABP+∠EBC=45°，∴∠FBP=∠FBA+∠ABP

=∠EBC+∠ABP=45°，∴∠FBP=∠EBP．

在△FBP和△EBP中，

∴△FBP≌△EBP（SAS），∴FP=EP，∴EP=FP=FA+AP=CE+AP，∴EP=t+t=2t，∴=2t．解得：t=，∴当t为4秒或（）秒时，△PBE为等腰三角形．

（3）∵EP=CE+AP，∴OP+PE+OE=OP+AP+CE+OE=AO+CO=4+4=8，∴△POE周长是定值，该定值为8．

考点：1．四边形综合题；2．解一元一次方程；3．全等三角形的判定与性质；4．等腰三角形的性质；5．勾股定理；6．正方形的性质；7．代数几何综合题；8．压轴题．