Question

如图，正方形ABCD中，AB=3，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF．下列结论：①点G是BC中点；②FG =FC；③AG∥FC；④S_△FGC =．其中正确的是（  ）

A．①②   B．②④   C．①②③   D．①③④

Answer

D．

【解析】

试题分析：∵正方形ABCD中，AB=3，CD=3DE，∴DE=×3=1，CE=3﹣1=2，∵△ADE沿AE对折至△AFE，∴AD=AF，EF=DE=1，∠AFE=∠D=90°，∴AB=AF=AD，在Rt△ABG和Rt△AFG中，∵AG=AG，AB=AF，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），∴BG=FG，设BG=FG=x，则EG=EF+FG=1+x，CG=3﹣x，在Rt△CEG中，，即，解得，x=，∴CG=3﹣=，∴BG=CG=，即点G是BC中点，故①正确；

∵tan∠AGB===2，∴∠AGB≠60°，∴∠CGF≠180°﹣60°×2≠60°，又∵BG=CG=FG，∴△CGF不是等边三角形，∴FG≠FC，故②错误；

△CGE的面积=CG•CE=××2=，∵EF：FG=1：=2：3，∴S△FGC==，故③正确；

综上所述，正确的结论有①③④．故选D．

考点：1．正方形的性质；2．翻折变换（折叠问题）；3．压轴题．