Question

在一次数学活动课上，两个同学利用计算机软件探索函数问题，下面是他们交流片断：

图1：小韩：若直线x=m（m＞0）分别交x轴，直线y=x和y=2x于点P、M、N时，有=1．

图2：小苏：若直线x=m（m＞0）分别交x轴，双曲线 y=（x＞0）和y=（x＞0）于点P、M、N时，有=…

问题解决

（1）填空：图2中，小苏发现的=                ；

（2）若记图1，图2中MN为d₁，d₂，分别求出d₁，d₂与m之间的函数关系式．并指出函数的增减性；

（3）如图3，直线x=m（m＞0）分别交x轴，抛物线y=x²-4x和y=x²-3x于点P，M，N，设A，B为抛物线y=x²-4x，y=x²-3x与x轴的非原点交点．当m为何值时，线段OP，PM，PN，MN中有三条能围成等边三角形？并直接写出此时点A，B，M，N围成的图形的面积．

Answer

（1）；（2）d1=m，d2=，函数d2为m为减函数；（3）当m=2时，S=3；当m=5时，S=7.5．

【解析】

试题分析：（1）把当x=m分别代入反比例函数的解析式，求出M点的纵坐标和N点的纵坐标，进而求出MN的长，则值可求出；

（2）当x=m时，则M点的纵坐标为m，N点的纵坐标为2m，进而求出MN的长，d1可求，同理可求出d2，利用反比例函数的增减性即可做出判断；

（3）由函数的解析式分别求出PM，PN，MN的长，根据等边三角形的性质：三边相等即可求出m的值，利用梯形的性质即可求出其面积．

试题解析：（1）当x=m时，

则M点的纵坐标为，N点的纵坐标为，

所以MN=-=，

∴=；

（2）当x=m时，则M点的纵坐标为m，N点的纵坐标为2m，

∴MN=2m-m=m，

即d1=m，

当x=m时，则M点的纵坐标为，N点的纵坐标为，

∴MN=-=，

∴d2=，

∵m＞0，

∴函数d2为m为减函数；

（3）∵OP=m，PM=|4m-m2|=m|4-m|，PN=|3m-m2|=m|3-m|，MN=|m|，

由题意，得m|4-m|=m或m|3-m|=m，

解得m=5，或m=3（不合题意），或m=4（不合题意），或m=2，

当m=2时，S=3；当m=5时，S=7.5．

考点：反比例函数综合题．