Question

已知，直线AP是过正方形ABCD顶点A的任一条直线（不过B、C、D三点），点B关于直线AP的对称点为E，连结AE、BE、DE，直线DE交直线AP于点F．

（1）如图1，直线AP与边BC相交．

①若∠PAB=20°，则∠ADF=           °，∠BEF=              °；

②请用等式表示线段AB、DF、EF之间的数量关系，并说明理由；

（2）如图2，直线AP在正方形ABCD的外部，且DF=6，EF=8，求线段AF的长．

Answer

（1）65；45；BF2+DF2=2AB2．（2）2.

【解析】

试题分析：（1）①利用轴对称的性质以及等腰三角形的性质得出即可；②连接BD，BF先依据翻折的性质证明△BEF为等腰直角三角形，从而得到△BFD为直角三角形，由勾股定理可得到BF、FD、BD之间的关系，然后由△ABD为等腰直角三角形，从而得打BD与AB之间的关系，故此可得到BF、FD、AB之间的关系

（2）连接BF、DB．先依据翻折的性质和等腰三角形的性质证明∠BFD=90°，然后在△BDF中，由勾股定理可求得BD的长，从而求得AB的长，然后在等腰直角三角形EFB中可求得FG=GB=8，然后再Rt△AGB中，由勾股定理可求得AG的长，由AF=FG-AG可求得AG的长．

试题解析：（1）①翻折的性质可知：∠PAB=∠PAE=20°，AE=AB．

∴∠AEB=∠ABE=×（180°-40°）=70°．

∵ABCD为正方形，

∴AB=AD，∠BAD=90°．

∴AE=AD，∠DAE=50°．

∴∠ADE=∠AED=×（180°-50°）=65°．

∴∠BEF=180°-70°-65°=45°．

②线段AB、DF、EF之间的数量关系是：BF2+DF2=2AB2．

理由：连接BD，BF．

∵由翻折的性质可知：BF=FE，

∴∠FBE=∠FEB=45°．

∴∠BFE=90°．

∴BF2+DF2=DB2．

∵BD=AB，

∴BD2=2AB2．

∴BF2+DF2=2AB2．

（2）如图2所示：连接BF、DB．

由翻折的性质可知：AB=AE，∠1=∠2，EF=BF=8，EG=GB．

又∵AD=AB，

∴AE=AD．

∴∠1=∠3．

∴∠2=∠3．

∵∠4=∠5，

∴∠5+∠3=∠2+∠4=90°．

∴△FDB和△EFB均为直角三角形，

∴BD=．

∴AB=BD=10×=10．

∵在Rt△EFB中，EF=BF，

∴EB=EF=×8=16．

∴GF=EG=BG=8．

在Rt△ABG中，AG==6．

∴AF=FG-AG=8-6=2．

考点：四边形综合题．