Question

在数学活动中，我们已经学习了四点共圆的条件：如果一个四边形对角互补，那么这个四边形的四个顶点在同一个圆上，简称“四点共圆”．如图，已知四边形ABCD，AD=4，CD=3，AC=5，cos∠BCA=sin∠BAC=，求∠BDC的大小．

Answer

30°．

【解析】

试题分析：先利用勾股定理的逆命题得到∠ADC=90°，再根据特殊角的三角函数值得到∠BCA=60°，∠BAC=30°，则∠ABC=90°，根据新定义得到四边形ABCD的四个点在以AC为直径的圆上，然后根据圆周角定理即可得到∠BDC=∠BAC=30°．

试题解析：∵AD=4，CD=3，AC=5，

∴AD2+CD2=AC2，

∴△ADC为直角三角形，∠ADC=90°，

∵cos∠BCA=sin∠BAC=，

∴∠BCA=60°，∠BAC=30°，

∴∠ABC=180°-60°-30°=90°，

∴四边形ABCD的四个点在以AC为直径的圆上，

∴∠BDC=∠BAC=30°．

考点：1.圆内接四边形的性质；2.解直角三角形．