Question

已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA=MC．

①求证：CD=AN；

②若∠AMD=2∠MCD，求证：四边形ADCN是矩形．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：①根据两直线平行，内错角相等求出∠DAC=∠NCA，然后利用“角边角”证明△AMD和△CMN全等，根据全等三角形对应边相等可得AD=CN，然后判定四边形ADCN是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证；

②根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和推出∠MCD=∠MDC，再根据等角对等边可得MD=MC，然后证明AC=DN，再根据对角线相等的平行四边形是矩形即可得证．

试题解析：①∵CN∥AB，

∴∠DAC=∠NCA，

在△AMD和△CMN中，

∠DAC＝∠NCA

∵ MA＝MC ，

∠AMD＝∠CMN

∴△AMD≌△CMN（ASA），

∴AD=CN，

又∵AD∥CN，

∴四边形ADCN是平行四边形，

∴CD=AN；

②∵∠AMD=2∠MCD，∠AMD=∠MCD+∠MDC，

∴∠MCD=∠MDC，

∴MD=MC，

由①知四边形ADCN是平行四边形，

∴MD=MN=MA=MC，

∴AC=DN，

∴四边形ADCN是矩形．

考点：1.矩形的判定；2.全等三角形的判定与性质；3.平行四边形的判定与性质．