Question

如图，菱形ABCD中，AB=AC，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE=BF，连接CE、AF交于点H，连接DH交AG于点O．则下列结论①△ABF≌△CAE，②∠AHC=120°，③AH+CH=DH，④AD²=OD•DH中，正确的是        ．

Answer

①②③④．

【解析】

试题解析：∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC，

∵AB=AC，

∴AB=BC=AC，

即△ABC是等边三角形，

同理：△ADC是等边三角形

∴∠B=∠EAC=60°，

在△ABF和△CAE中，

，

∴△ABF≌△CAE（SAS）；

故①正确；

∴∠BAF=∠ACE，

∵∠AEH=∠B+∠BCE，

∴∠AHC=∠BAF+∠AEH=∠BAF+∠B+∠BCE=∠B+∠ACE+∠BCE=∠B+∠ACB=60°+60°=120°；

故②正确；

在HD上截取HK=AH，连接AK，

∵∠AHC+∠ADC=120°+60°=180°，

∴点A，H，C，D四点共圆，

∴∠AHD=∠ACD=60°，∠ACH=∠ADH，

∴△AHK是等边三角形，

∴AK=AH，∠AKH=60°，

∴∠AKD=∠AHC=120°，

在△AKD和△AHC中，

，

∴△AKD≌△AHC（AAS），

∴CH=DK，

∴DH=HK+DK=AH+CH；

故③正确；

∵∠OAD=∠AHD=60°，∠ODA=∠ADH，

∴△OAD∽△AHD，

∴AD：DH=OD：AD，

∴AD2=OD•DH．

故④正确．

考点：1.相似三角形的判定与性质；2.全等三角形的判定与性质；3.菱形的性质．