Question

关于x的二次函数y=-x²+bx+c经过点A（-3，0），点C（0，3），点D为二次函数的顶点，DE为二次函数的对称轴，E在x轴上.

（1）求抛物线的解析式；

（2）DE上是否存在点P到AD的距离与到x轴的距离相等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer

（1） y=-x2-2x+3，（2）存在；（-1，-1）或（-1，--1）.

【解析】

试题分析：（1）把A、C两点坐标代入可求得b、c，可求得抛物线解析式；

（2）当点P在∠DAB的平分线上时，过P作PM⊥AD，设出P点坐标，可表示出PM、PE，由角平分线的性质可得到PM=PE，可求得P点坐标；当点P在∠DAB外角平分线上时，同理可求得P点坐标.

试题解析：（1）∵二次函数y=-x2+bx+c经过点A（-3，0），点C（0，3），

∴，

解得，

∴抛物线的解析式y=-x2-2x+3，

（2）存在，

当P在∠DAB的平分线上时，如图1，作PM⊥AD，

设P（-1，m），则PM=PD•sin∠ADE=（4-m），PE=m，

∵PM=PE，

∴（4-m）=m，m=-1，

∴P点坐标为（-1，-1）；

当P在∠DAB的外角平分线上时，如图2，作PN⊥AD，

设P（-1，n），则PN=PD•sin∠ADE=（4-n），PE=-n，

∵PN=PE，

∴（4-n）=-n，n=--1，

∴P点坐标为（-1，--1）；

综上可知存在满足条件的P点，其坐标为（-1，-1）或（-1，--1）.

考点：二次函数综合题．