Question

将直角边长为6的等腰Rt△AOC放在如图所示的平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C、A分别在x、y轴的正半轴上，一条抛物线经过点A、C及点B（–3，0）．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若点P是线段BC上一动点，过点P作AB的平行线交AC于点E，连接AP，当△APE的面积最大时，求点P的坐标；

（3）在第一象限内的该抛物线上是否存在点G，使△AGC的面积与（2）中△APE的最大面积相等?若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）y=-x2+x+6．（2）点P的坐标为（，0）．（3）点G的坐标为（，）或（，）．

【解析】

试题分析：（1）已知OA、OC的长，可得A、C的坐标，即可用待定系数法求出抛物线的解析式．

（2）设出点P的横坐标，表示出CP的长，由于PE∥AB，可利用相似三角形△CPE∽△CBA，求出△APE的面积表达式，进而可将面积问题转换为二次函数的最值问题，根据函数的性质即可得到△APE的最大面积及对应的P点坐标．

（3）由于△AGC的面积无法直接求出，可用割补法求解，过G作GH⊥x轴于H，设出G点坐标，表示出△HGC、梯形AOHG的面积，它们的面积和减去△AOC的面积即可得到△AGC的面积表达式，然后将（2）题所得△APE的面积最大值代入上式中，联立抛物线的解析式即可得到点G的坐标．

试题解析：（1）如图，

∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（0，6），

∴c=6．

∵抛物线的图象又经过点（-3，0）和（6，0），

∴，

解之得，

故此抛物线的解析式为：y=-x2+x+6．

（2）设点P的坐标为（m，0），

则PC=6-m，S△ABC=BC•AO=×9×6=27；

∵PE∥AB，

∴△CEP∽△CAB；

∴，

即，

∴S△CEP=（6-m）2，

∵S△APC=PC•AO=（6-m）×6=3（6-m），

∴S△APE=S△APC-S△CEP=3（6-m）-（6-m）2=-（m-）2+；

当m=时，S△APE有最大面积为；

此时，点P的坐标为（，0）．

（3）如图，过G作GH⊥BC于点H，设点G的坐标为G（a，b），

连接AG、GC，

∵S梯形AOHG=a（b+6），

S△CHG=（6-a）b，

∴S四边形AOCG=a（b+6）+（6-a）b=3（a+b）．

∵S△AGC=S四边形AOCG-S△AOC，

∴=3（a+b）-18，

∵点G（a，b）在抛物线y=-x2+x+6的图象上，

∴b=-a2+a+6，

∴=3（a-a2+a+6）-18，

化简，得4a2-24a+27=0，

解之得a1=，a2=；

故点G的坐标为（，）或（，）．

考点：二次函数综合题．