Question

某企业接到一批粽子生产任务，按要求在15天内完成，约定这批粽子的出厂价为每只6元，为按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只，y与x满足下列关系式：

（1）李明第几天生产的粽子数量为420只？

（2）如图，设第x天每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若李明第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大，最大利润是多少元？（利润=出厂价-成本）

（3）设（2）小题中第m天利润达到最大值，若要使第（m+1）天的利润比第m天的利润至少多48元，则第（m+1）天每只粽子至少应提价几元？

Answer

（1）第10天生产的粽子数量为420只．（2）当x=12时，w有最大值，最大值为768．（3）第13天每只粽子至少应提价0.1元．

【解析】

试题分析：（1）把y=420代入y=30x+120，解方程即可求得；

（2）根据图象求得成本p与x之间的关系，然后根据利润等于订购价减去成本价，然后整理即可得到W与x的关系式，再根据一次函数的增减性和二次函数的增减性解答；

（3）根据（2）得出m+1=13，根据利润等于订购价减去成本价得出提价a与利润w的关系式，再根据题意列出不等式求解即可．

试题解析：（1）设李明第n天生产的粽子数量为420只，

由题意可知：30n+120=420，

解得n=10．

答：第10天生产的粽子数量为420只．

（2）由图象得，当0≤x≤9时，p=4.1；

当9≤x≤15时，设P=kx+b，

把点（9，4.1），（15，4.7）代入得，

，

解得，

∴p=0.1x+3.2，

①0≤x≤5时，w=（6-4.1）×54x=102.6x，当x=5时，w最大=513（元）；

②5＜x≤9时，w=（6-4.1）×（30x+120）=57x+228，

∵x是整数，

∴当x=9时，w最大=741（元）；

③9＜x≤15时，w=（6-0.1x-3.2）×（30x+120）=-3x2+72x+336，

∵a=-3＜0，

∴当x=-=12时，w最大=768（元）；

综上，当x=12时，w有最大值，最大值为768．

（3）由（2）可知m=12，m+1=13，

设第13天提价a元，由题意得，w13=（6+a-p）（30x+120）=510（a+1.5），

∴510（a+1.5）-768≥48，解得a=0.1．

答：第13天每只粽子至少应提价0.1元．

考点：二次函数的应用．