Question

如图，在⊙O中，弦BC，BD关于直径AB所在直线对称．E为半径OC上一点，OC=3OE，连接AE并延长交⊙O于点F，连接DF交BC于点M．

（1）请依题意补全图形；

（2）求证：∠AOC=∠DBC；

（3）求的值．

Answer

（1）作图见试题解析；（2）证明见试题解析；（3）．

【解析】

试题分析：（1）根据题意补全图形；

（2）由弦BC，BD关于直径AB所在直线对称，得到 ∠DBC=2∠ABC，又由于∠AOC=2∠ABC，故有∠AOC=∠DBC；

（3）由同弧所对圆周角相等，得到∠A=∠D，从而有△AOE∽△DBM，故，由 OC=3OE，OA =OC，得到，由于 BC=BD，故可得出的值．

试题解析：（1）补全图形如图．

（2）证明：∵ 弦BC，BD关于直径AB所在直线对称，∴ ∠DBC=2∠ABC，又∵∠AOC=2∠ABC，∴∠AOC=∠DBC；

（3）【解析】
∵，∴ ∠A=∠D，又∵∠AOC=∠DBC，∴ △AOE∽△DBM，∴ ，∵ OC=3OE，OA =OC，∴ ，∵ 弦BC，BD关于直径AB所在直线对称，∴ BC=BD，∴ ．

考点：1．圆的认识；2．相似三角形的判定与性质．