Question

二次函数图象过A、C、B三点，点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上，且AB=OC．
（1）求C的坐标；
（2）求二次函数的解析式，并求出函数最大值．

Answer

（1）根据A．B两点的坐标及点C在y轴正半轴上，且AB=OC．求出点C的坐标为（0，5）；
（2）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，把A、B、C三点的坐标代入解析式，可求出a、b、c的值．
【解析】
（1）∵A（-1，0），B（4，0）
∴AO=1，OB=4，
AB=AO+OB=1+4=5，
∴OC=5，即点C的坐标为（0，5）；

（2）解法1：设图象经过A、C、B三点的二次函数的解析式为y=ax2+bx+c
由于这个函数图象过点（0，5），可以得到C=5，又由于该图象过点（-1，0），（4，0），则：
，
解方程组，得
∴所求的函数解析式为y=-x2+x+5
∵a=-＜0
∴当x=-=时，y有最大值==；

解法2：
设图象经过A、C、B二点的二次函数的解析式为y=a（x-4）（x+1）
∵点C（0，5）在图象上，
∴把C坐标代入得：5=a（0-4）（0+1），解得：a=-，
∴所求的二次函数解析式为y=-（x-4）（x+1）
∵点A，B的坐标分别是点A（-1，0），B（4，0），
∴线段AB的中点坐标为（，0），即抛物线的对称轴为直线x=
∵a=-＜0
∴当x=时，y有最大值y=-=．