Question

如图，二次函数的图象与x轴相交于点A（﹣3，0）、B（﹣1，0），与y轴相交于点C（0，3），点P是该图象上的动点；一次函数y=kx﹣4k（k≠0）的图象过点P交x轴于点Q．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）当点P的坐标为（﹣4，m）时，求证：∠OPC=∠AQC；

（3）点M，N分别在线段AQ、CQ上，点M以每秒3个单位长度的速度从点A向点Q运动，同时，点N以每秒1个单位长度的速度从点C向点Q运动，当点M，N中有一点到达Q点时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒．连接AN，当△AMN的面积最大时，

①求t的值；

②直线PQ能否垂直平分线段MN？若能，请求出此时点P的坐标；若不能，请说明你的理由．

Answer

【解析】
（1）∵二次函数的图象与x轴相交于点A（﹣3，0）、B（﹣1，0），

∴设二次函数的解析式为：y=a（x+3）（x+1）。

∵二次函数的图象经过点C（0，3），∴3=a×3×1，解得a=1。

∴二次函数的解析式为：y=（x+3）（x+1），即y =x2+4x+3。

     （2）证明：在二次函数解析式y=x2+4x+3中，当x=﹣4时，y=3，∴P（﹣4，3）。

∵P（﹣4，3），C（0，3），∴PC=4，PC∥x轴。

∵一次函数y=kx﹣4k（k≠0）的图象交x轴于点Q，当y=0时，x=4，∴Q（4，0），OQ=4。

∴PC=OQ。

又∵PC∥x轴，∴四边形POQC是平行四边形。

∴∠OPC=∠AQC。

（3）①在Rt△COQ中，OC=3，OQ=4，由勾股定理得：CQ=5．

如答图1所示，过点N作ND⊥x轴于点D，则ND∥OC，

∴△QND∽△QCO。

∴，即，

解得：。

设S=S△AMN，则：

。

又∵AQ=7，点M的速度是每秒3个单位长度，

∴点M到达终点的时间为t=，

∴（0＜t≤）。

∵＜0，＜，且x＜时，y随x的增大而增大，

∴当t=时，△AMN的面积最大。

②假设直线PQ能够垂直平分线段MN，则有QM=QN，且PQ⊥MN，PQ平分∠AQC。

由QM=QN，得：7﹣3t=5﹣t，解得t=1。

此时点M与点O重合，如答图2所示，

设PQ与OC交于点E，由（2）可知，四边形POQC是平行四边形，

∴OE=CE。

∵点E到CQ的距离小于CE，

∴点E到CQ的距离小于OE。

而OE⊥x轴，

∴PQ不是∠AQC的平分线，这与假设矛盾。

∴直线PQ不能垂直平分线段MN

【解析】

试题分析：（1）利用交点式求出抛物线的解析式。

（2）证明四边形POQC是平行四边形，则结论得证。

（3）①求出△AMN面积的表达式，利用二次函数的性质，求出△AMN面积最大时t的值。

②由于直线PQ上的点到∠AQC两边的距离不相等，则直线PQ不能平分∠AQC，所以直线PQ不能垂直平分线段MN。