Question

（1）如图（1）点P是正方形ABCD的边CD上一点（点P与点C，D不重合），点E在BC的延长线上，且CE=CP，连接BP，DE．求证：△BCP≌△DCE；

（2）直线EP交AD于F，连接BF，FC．点G是FC与BP的交点．

①若CD=2PC时，求证：BP⊥CF；

②若CD=n•PC（n是大于1的实数）时，记△BPF的面积为S₁，△DPE的面积为S₂．求证：S₁=（n+1）S₂．

Answer

证明：（1）∵在△BCP与△DCE中，，

∴△BCP≌△DCE（SAS）。

（2）①∵CP=CE，∠PCE=90°，∴∠CPE=45°。∴∠FPD=∠CPE=45°。∴∠PFD=45°。∴FD=DP。

∵CD=2PC，∴DP=CP。∴FD=CP。

∵在△BCP与△CDF中，，

∴△BCP≌△CDF（SAS）。

∴∠FCD=∠CBP。

∵∠CBP+∠BPC=90°，∴∠FCD+∠BPC=90°。

∴∠PGC=90°，即BP⊥CF。

②设CP=CE=1，则BC=CD=n，DP=CD﹣CP=n﹣1，

易知△FDP为等腰直角三角形，∴FD=DP=n﹣1。

，

，

∴S1=（n+1）S2

【解析】

试题分析：（1）由SAS即可证明△BCP≌△DCE。

（2）①在（1）的基础上，再证明△BCP≌△CDF，进而得到∠FCD+∠BPC=90°，从而证明BP⊥CF。

②设CP=CE=1，则BC=CD=n，DP=CD﹣CP=n﹣1，分别求出S1与S2的值，得，，所以S1=（n+1）S2结论成立。