Question

如图，在平面直角坐标系中，两个全等的直角三角形的直角顶点及一条直角边重合，点A在第二象限内，点B、点C在x轴的负半轴上，∠CAO=30°，OA=4．
（1）求点C的坐标；
（2）如图，将△ACB绕点C按顺时针方向旋转30°到△A′CB′的位置，其中A’C交直线OA于点E，A’B’分别交直线OA、CA于点F、G，则除△A′B′C≌△AOC外，还有哪几对全等的三角形，请直接写出答案；（不再另外添加辅助线）
（3）在（2）的基础上，将△A′CB′绕点C按顺时针方向继续旋转，当△COE的面积为时，求直线CE的函数表达式．

Answer

（1）首先在Rt△ACO中，根据∠CAO=30°解直角三角形可以得到OA，OC的长，然后就可以得到点C的坐标；
（2）根据已知条件容易得到△A′EF≌△AGF或△B′GC≌△CEO或△A′GC≌△AEC；
（3）过点E1作E1M⊥OC于点M，利用S△COE1=4和∠E1OM=60°可以求出点E1的坐标，然后利用待定系数法确定直线CE的解析式．此题有两种情况，分别是E在第二或四象限里．
【解析】
（1）∵在Rt△ACO中，∠CAO=30°，OA=4，
∴OC=2，
∴C点的坐标为（-2，0）．

（2）△A′EF≌△AGF或△B′GC≌△CEO或△A′GC≌△AEC．

（3）如图1，过点E1作E1M⊥OC于点M．
∵S△COE1=CO•E1M=，
∴E1M=．
∵在Rt△E1MO中，∠E1OM=60°，则，
∴，
∴点E1的坐标为（）．
设直线CE1的函数表达式为y=k1x+b1，则
，
解得．
∴．
同理，如图2所示，点E2的坐标为（）．
设直线CE2的函数表达式为y=k2x+b2，则，
解得．
∴．