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如图,在直角梯形OABD中,DB∥OA,∠OAB=90°,点O为坐标原点,点A在...

如图,在直角梯形OABD中,DB∥OA,∠OAB=90°,点O为坐标原点,点A在x轴的正半轴上,对角线OB,AD相交于点M.OA=2,AB=2manfen5.com 满分网,BM:MO=1:2.
(1)求OB和OM的值;
(2)求直线OD所对应的函数关系式;
(3)已知点P在线段OB上(P不与点O,B重合),经过点A和点P的直线交梯形OABD的边于点E(E异于点A),设OP=t,梯形OABD被夹在∠OAE内的部分的面积为S,求S关于t的函数关系式.

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(1)由于∠OAB=90°,OA=2,AB=2,所以OB=4; 因为=,所以=,OM=. (2)由(1)得:OM=,即BM=.由于DB∥OA,易证==,故DB=1,D(1,2).故过OD的直线所对应的函数关系式是y=2x. (3)依题意:当0<t≤时,E在OD边上,分别过E,P作EF⊥OA,PN⊥OA,垂足分别为F和N,由于tan∠PON==,故∠PON=60°,OP=t,故ON=t,PN=t,直线OD所对应的函数关系式是y=2x, 设E(n,2)易证得△APN∽△AEF,故=,故n=,由此,S△OAE=OA•EF=×2×2×, ∴S=(0<t≤); 当<t<4时,点E在BD边上,此时,S梯形OABD=S△ABE+S梯形OAED, 由于DB∥OA,易证:∴△EPB∽△APO, ∴=, ∴=,BE=, 可分别求出三角形的值. 【解析】 (1)∵∠OAB=90°,OA=2,AB=2, ∴OB=4, ∵=, ∴=, ∴OM=. (2)由(1)得:OM=, ∴BM=, ∵DB∥OA,易证==, ∴DB=1,D(1,2), ∴过OD的直线所对应的函数关系式是y=2x. (3)依题意:当0<t≤时,E在OD边上, 分别过E,P作EF⊥OA,PN⊥OA,垂足分别为F和N, ∵tan∠PON==,∴∠PON=60°, OP=t.∴ON=t,PN=t, ∵直线OD所对应的函数关系式是y=2, 设E(n,2)易证得△APN∽△AEF, ∴=, ∴=, 整理得:=, ∴8n-2nt=2t-nt, ∴8n-nt=2t,n(8-t)=2t, ∴n=. 由此,S△OAE=OA•EF=×2×2×, ∴S=(0<t≤), 当<t<4时,点E在BD边上, 此时,S梯形OABD=S△ABE+S梯形OAED, ∵DB∥OA, 易证:△EPB∽△APO, ∴=, ∴=, BE=, S△ABE=BE•AB=××2=×2==, ∴S=(1+2)×2-×2=3-×2=-+5, 综上所述:S=. (3)解法2:①∵∠AOB=90°,OA=2,AB=2, 易求得:∠ABO=30°,∴OB=4. 解法2:分别过E,P作EF⊥OA,PN⊥OA,垂足分别为F和N, 由①得,∠OBA=30°, ∵OP=t, ∴ON=t,PN=t, 即:P(t,t),又(2,0), 设经过A,P的直线所对应的函数关系式是y=kx+b, 则, 解得:k=,b=, ∴经过A,P的直线所对应的函数关系式是y=x+. 依题意:当0<t≤时,在OD边上, ∴E(n,2n),在直线AP上, ∴-+=2n, 整理得:-=2n, ∴n=, ∴S=(0), 当<t<4时,点E在BD上,此时,点E坐标是(n,2),因为E在直线AP上, ∴-+=2, 整理得:+=2∴8n-nt=2t, ∴n=, BE=2-n=2-=, ∴S=(1+2)×2-×2=3-×2=-+5, 综上所述:S=.
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考点分析:
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