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如图,在直角坐标系中,矩形OABC的顶点O与坐标原点重合,顶点A,C在坐标轴上,...

如图,在直角坐标系中,矩形OABC的顶点O与坐标原点重合,顶点A,C在坐标轴上,OA=60cm,OC=80cm.动点P从点O出发,以5cm/s的速度沿x轴匀速向点C运动,到达点C即停止.设点P运动的时间为ts.
(1)过点P作对角线OB的垂线,垂足为点T.求PT的长y与时间t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围;
(2)在点P运动过程中,当点O关于直线AP的对称点O'恰好落在对角线OB上时,求此时直线AP的函数解析式;
(3)探索:以A,P,T三点为顶点的△APT的面积能否达到矩形OABC面积的manfen5.com 满分网?请说明理由.

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(1)根据矩形的性质可知OB=AC,根据直角三角形的性质可知=100,即OB=AC=100.判定Rt△OPT∽Rt△OBC则可得出,即可得出函数解析式,根据P的运动情况求出t的取值范围即可. (2)当O点关于直线AP的对称点O′恰好在对角线OB上时,A,T,P三点在一条直线上.判定Rt△AOP∽Rt△OCB,则可得出,点P的坐标为(45,0).列出AP的函数解析式将点A(0,60)和点P(45,0)代入解析式,解出即可. (3)由(2)知,当t=9时,A,T,P三点在一条直线上,此时点A,T,P不构成三角形.所以分两种情况:1、当0<t<9时,列出方程求解看有无实数根即可.2、当9<t≤16时,根据图(3)列出方程求解看有无实数根即可. 【解析】 (1)在矩形OABC中, 因为OA=60,OC=80, 所以OB=AC==100. 因为PT⊥OB, 所以Rt△OPT∽Rt△OBC. 因为,即, 所以y=PT=3t. 当点P运动到C点时即停止运动,此时t的最大值为. (2)(如图2)当O点关于直线AP的对称点O'恰好在对角线OB上时,A,T,P三点在 一条直线上. 所以AP⊥OB,∠1=∠2. 所以Rt△AOP∽Rt△OCB, 所以. 所以OP=45. 所以点P的坐标为(45,0). 设直线AP的函数解析式为y=kx+b. 将点A(0,60)和点P(45,0)代入解析式, 得, 解这个方程组得. 所以此时直线AP的函数解析式是. (3)由(2)知,当时,A,T,P三点在一条直线上,此时点A,T,P不构 成三角形. 所以分两种情况: 1、当0<t<9时,点T位于△AOP的内部(如图1),过A点作AE⊥OB,垂足为点E, 由AO•AB=OB•AE可得AE=48. 所以S△APT=S△AOP-S△ATO-S△OTP=×60×5t-×4t×48-×4t×3t=-6t2+54t. 若S△APT=S矩形OABC, 则-6t2+54t=1200,即t2-9t+200=0. 此时,△=(-9)2-4×1×200<0, 所以该方程无实数根. 所以当0<t<9时,以A,P,T为顶点的△APT的面积不能达到矩形OABC面积的. 2、当9<t≤16时,点T位于△AOP的外部. 此时S△APT=S△ATO+S△OTP-S△AOP=6t2-54t. 若S△APT=S矩OABC, 则6t2-54t=1200,即t2-9t-200=0. 解得,(舍去). 由于881>625=252, 所以. 而此时9<t≤16, 所以也不符合题意,应舍去. 所以当9<t≤16时,以A,P,T为顶点的△APT的面积也不能达到矩形OABC面积的. 综上所述,以A,P,T为顶点的△APT的面积不能达到矩形OABC面积的.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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