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已知:如图,△ABC是⊙O的内接正三角形,弦EF经过BC的中点D,且EF∥AB,...

已知:如图,△ABC是⊙O的内接正三角形,弦EF经过BC的中点D,且EF∥AB,若AB=2,则DE的长是( )
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D.1
设AC与EF交于点G,由于EF∥AB,且D是BC中点,易得DG是△ABC的中位线,即DG=1; 易知△CDG是等腰三角形,可过C作AB的垂线,交EF于M,交AB于N;然后证DE=FG,根据相交弦定理得BD•DC=DE•DF,而BD、DC的长易知,DF=1+DE,由此可得到关于DE的方程,即可求得DE的长. 【解析】 如图.过C作CN⊥AB于N,交EF于M,则CM⊥EF. 根据圆和等边三角形的性质知:CN必过点O. ∵EF∥AB,D是BC的中点, ∴DG是△ABC的中位线,即DG=AB=1; 易知△CGD是等边三角形,而CM⊥DG,则DM=MG; 由于OM⊥EF,由垂径定理得:EM=MF,故DE=GF. ∵弦BC、EF相交于点D, ∴BD•DC=DE•DF,即DE×(DE+1)=1; 解得DE=(负值舍去). 故选B.
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考点分析:
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