Question

已知：如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是菱形，且∠AOC=60°，点B的坐标是（0，8），点P从点C开始以每秒1个单位长度的速度在线段CB上向点B移动，同时，点Q从点O开始以每秒a（1≤a≤3）个单位长度的速度沿射线OA方向移动设t（0＜t≤8）秒后，直线PQ交OB于点D．
（1）求∠AOB的度数及线段OA的长；
（2）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；
（3）当a=3，OD=时，求t的值及此时直线PQ的解析式；
（4）当a为何值时，以O，Q，D为顶点的三角形与△OAB相似？当a为何值时，以O，Q，D为顶点的三角形与△OAB不相似？请给出你的结论，并加以证明．

Answer

（1）已知了∠AOC的度数，根据菱形的性质即可得出∠AOB=30°，连接AC交BO于M，在直角三角形OAM中，OM=OB，可根据OM的长和∠AOM的度数即可求出OA的长．
（2）同（1）在直角三角形OAM中可求出AM和OM的长，即可得出A点的坐标．根据菱形的对称性，可知A、C关于y轴对称，由此可得出C点的坐标，可用待定系数法求出抛物线的解析式．
（3）当a=3时，OQ=3t，BP=t，已知了OD的长，可求出BD的长，然后根据相似三角形BPD和OQD得出的关于BM，OM，BP，OQ的比例关系式，可求出t的值．即可按（2）的方法求出Q的坐标，用待定系数法可得出直线DQ的解析式．
（4）本题要分情况讨论：
①当△ODQ∽△OBA时，PQ∥AB，四边形AQPB是平行四边形，因此BP=AQ，可据此求出a的值．
②当△ODQ∽△OAB时，∠ODQ=∠OAB．分两种情况：
一：当P、B不重合时；二：当P、B重合时．
方法一样，和（3）类似，先根据相似三角形BPD和OQD求出OD的值，然后根据相似三角形OQD和OBA求出a的值．然后进行判断即可．
【解析】
（1）因为四边形ABCO是菱形，∠AOC=60°，
所以∠AOB=30°．
连接AC交OB于M，则OM=OB，AM⊥OB
所以AM=tan30°×OM=4．
所以，OA=AM÷sin30°=8，

（2）由（1）可知A（4，4），B（0，8），C（-4，4）
设经过A、B、C三点的抛物线为y=ax2+c
所以16a+c=4，c=8，
∴a=-
所以经过A、B、C三点的抛物线为y=-x2+8

（3）当a=3时，CP=t，OQ=3t，OD=．
所以PB=8-t，BD=8-=
由△OQD∽△BPD得

即，
所以t=
当t=时，OQ=．
同理可求Q（，）
设直线PQ的解析式为y=kx+b，则
k+b=，b=；
所以k=-
所以直线PQ的解析式为y=-x+．

（4）当a=1时，△ODQ∽△OBA；
当1＜a＜3时，以O、Q、D为顶点的三角形与△OAB不能相似；
当a=1时，△ODQ∽△OBA．
理由如下：
①若△ODQ∽△OBA，可得∠ODQ=∠OBA，此时PQ∥AB．
故四边形PCOQ为平行四边形，
所以CP=OQ
即at=t（0＜t≤8）．
所以a=1时，△ODQ∽△OBA
②若△ODQ∽△OAB
（I）如果P点不与B点重合，此时必有△PBD∽△QOD
所以
所以，即=；
所以OD=．
因为△ODQ∽△OAB，
所以即=
∴a=1+．
∵0＜t≤8，
∴a＞3，不符合题意．即a＞3时，以O、Q、D为顶点的三角形与△ABO不能相似；

（II）当P与B重合时，此时D点也与B点重合．
可知此时t=8．
由△ODQ∽△OAB得．
所以OB2=OA×OQ．
即（8）2=8×8a
所以a=3符合题意．
故当a=1时△ODQ∽△OAB．