Question

如图，抛物线y₁=-ax²-ax+1经过点P（-，），且与抛物线y₂=ax²-ax-1相交于A，B两点．
（1）求a值；
（2）设y₁=-ax²-ax+1与x轴分别交于M，N两点（点M在点N的左边），y₂=ax²-ax-1与x轴分别交于E，F两点（点E在点F的左边），观察M，N，E，F四点的坐标，写出一条正确的结论，并通过计算说明；
（3）设A，B两点的横坐标分别记为x_A，x_B，若在x轴上有一动点Q（x，0），且x_A≤x≤x_B，过Q作一条垂直于x轴的直线，与两条抛物线分别交于C，D两点，试问当x为何值时，线段CD有最大值，其最大值为多少？

Answer

（1）抛物线y1=-ax2-ax+1经过点P（-，），则把P点的坐标代入解析式就可以求出A的值．
（2）求出A的值以后，两个函数的解析式就可以求出，在解析式中，令y=0就可以求出函数与x轴的交点坐标，得出M，N，E，F四点的坐标．
（3）线段CD的长度可以用x表示出来，即y2与y1的差．CD的长度就可以表示为x的一个二次函数，求CD的最值，就是求函数的最值问题．
【解析】
（1）∵点在抛物
y1=-ax2-ax+1上，
∴，（2分）
解得．（3分）

（2）如图，由（1）知，
∴抛物线，．（5分）
当时，解得x1=-2，x2=1．
∵点M在点N的左边，
∴xM=-2，xN=1．（6分）
当时，解得x3=-1，x4=2．
∵点E在点F的左边，
∴xE=-1，xF=2．（7分）
∵xM+xF=0，xN+xE=0，
∴点M与点F对称，点N与点E对称．（8分）

（3）∵．
∴抛物线y1开口向下，抛物线y2开口向上．（9分）
根据题意，得CD=y1-y2=．（11分）
∵xA≤x≤xB，
∴当x=0时，CD有最大值2．（12分）