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如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(1,0),B(-3,0)两点. (...

如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(1,0),B(-3,0)两点.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)设(1)中的抛物线交y轴与C点,在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QAC的周长最小?若存在,求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P,使△PBC的面积最大?若存在,求出点P的坐标及△PBC的面积最大值;若没有,请说明理由.

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(1)根据题意可知,将点A、B代入函数解析式,列得方程组即可求得b、c的值,求得函数解析式; (2)根据题意可知,边AC的长是定值,要想△QAC的周长最小,即是AQ+CQ最小,所以此题的关键是确定点Q的位置,找到点A的对称点B,求得直线BC的解析式,求得与对称轴的交点即是所求; (3)存在,设得点P的坐标,将△BCP的面积表示成二次函数,根据二次函数最值的方法即可求得点P的坐标. 【解析】 (1)将A(1,0),B(-3,0)代y=-x2+bx+c中得 (2分) ∴(3分) ∴抛物线解析式为:y=-x2-2x+3;(4分) (2)存在(5分) 理由如下:由题知A、B两点关于抛物线的对称轴x=-1对称 ∴直线BC与x=-1的交点即为Q点,此时△AQC周长最小 ∵y=-x2-2x+3 ∴C的坐标为:(0,3) 直线BC解析式为:y=x+3(6分) Q点坐标即为 解得 ∴Q(-1,2);(7分) (3)存在.(8分) 理由如下:设P点(x,-x2-2x+3)(-3<x<0) ∵S△BPC=S四边形BPCO-S△BOC=S四边形BPCO- 若S四边形BPCO有最大值,则S△BPC就最大, ∴S四边形BPCO=S△BPE+S直角梯形PEOC(9分) =BE•PE+OE(PE+OC) =(x+3)(-x2-2x+3)+(-x)(-x2-2x+3+3) = 当x=-时,S四边形BPCO最大值= ∴S△BPC最大=(10分) 当x=-时,-x2-2x+3= ∴点P坐标为(-,).(11分)
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考点分析:
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①用含m的代数式表示线段PF的长,并求出当m为何值时,四边形PEDF为平行四边形?
②设△BCF的面积为S,求S与m的函数关系式.

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(1)若m为常数,求抛物线的解析式;
(2)若m为小于0的常数,那么(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点;
(3)设抛物线交y轴正半轴于D点,问是否存在实数m,使得△BOD为等腰三角形?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
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如图,已知抛物线y=x2+bx+c经过A(1,0),B(0,2)两点,顶点为D.
(1)求抛物线的解析式;
(2)将△OAB绕点A顺时针旋转90°后,点B落到点C的位置,将抛物线沿y轴平移后经过点C,求平移后所得图象的函数关系式;
(3)设(2)中平移后,所得抛物线与y轴的交点为B1,顶点为D1,若点N在平移后的抛物线上,且满足△NBB1的面积是△NDD1面积的2倍,求点N的坐标.

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如图,抛物线经过A(4,0),B(1,0),C(0,-2)三点.
(1)求出抛物线的解析式;
(2)P是抛物线上一动点,过P作PM⊥x轴,垂足为M,是否存在P点,使得以A,P,M为顶点的三角形与△OAC相似?若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)在直线AC上方的抛物线上有一点D,使得△DCA的面积最大,求出点D的坐标.

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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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