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如图,已知二次函数y=x2-2x-1的图象的顶点为A.二次函数y=ax2+bx的...

如图,已知二次函数y=x2-2x-1的图象的顶点为A.二次函数y=ax2+bx的图象与x轴交于原点O及另一点C,它的顶点B在函数y=x2-2x-1的图象的对称轴上.
(1)求点A与点C的坐标;
(2)当四边形AOBC为菱形时,求函数y=ax2+bx的关系式.

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(1)二次函数y=ax2+bx的顶点在已知二次函数抛物线的对称轴上,可知两个函数对称轴相等,因此先根据已知函数求出对称轴. y=x2-2x-1=(x-1)2-2,所以顶点A的坐标为(1,-2)对称轴为x=1, 所以二次函数y=ax2+bx关于x=1对称,且函数与x轴的交点分别是原点和C点, 所以点C和点O关于直线l对称,所以点C的坐标为(2,0); (2)因为四边形AOBC是菱形,根据菱形性质,可以得出点O和点C关于直线AB对称,点B和点A关于直线OC对称,因此,可求出点B的坐标,点B的坐标为(1,2), 二次函数y=ax2+bx的图象经过点B(1,2),C(2,0),将B,C代入解析式,可得,, 解得,所以二次函数y=ax2+bx的关系式为y=-2x2+4x. 【解析】 (1)∵y=x2-2x-1=(x-1)2-2, ∴顶点A的坐标为(1,-2). ∵二次函数y=ax2+bx的图象与x轴交于原点O及另一点C,它的顶点B在函数y=x2-2x-1的图象的对称轴上. ∴二次函数y=ax2+bx的对称轴为:直线x=1, ∴点C和点O关于直线x=1对称, ∴点C的坐标为(2,0). (2)因为四边形AOBC是菱形,所以点B和点A关于直线OC对称, 因此,点B的坐标为(1,2). 因为二次函数y=ax2+bx的图象经过点B(1,2),C(2,0), 所以, 解得, 所以二次函数y=ax2+bx的关系式为y=-2x2+4x.
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考点分析:
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如图,抛物线y=-x2+2x+3与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴相交于点C,顶点为D.
(1)直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴;
(2)连接BC,与抛物线的对称轴交于点E,点P为线段BC上的一个动点,过点P作PF∥DE交抛物线于点F,设点P的横坐标为m;
①用含m的代数式表示线段PF的长,并求出当m为何值时,四边形PEDF为平行四边形?
②设△BCF的面积为S,求S与m的函数关系式.

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manfen5.com 满分网一开口向上的抛物线与x轴交于A(m-2,0),B(m+2,0)两点,记抛物线顶点为C,且AC⊥BC.
(1)若m为常数,求抛物线的解析式;
(2)若m为小于0的常数,那么(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点;
(3)设抛物线交y轴正半轴于D点,问是否存在实数m,使得△BOD为等腰三角形?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
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如图,已知抛物线y=x2+bx+c经过A(1,0),B(0,2)两点,顶点为D.
(1)求抛物线的解析式;
(2)将△OAB绕点A顺时针旋转90°后,点B落到点C的位置,将抛物线沿y轴平移后经过点C,求平移后所得图象的函数关系式;
(3)设(2)中平移后,所得抛物线与y轴的交点为B1,顶点为D1,若点N在平移后的抛物线上,且满足△NBB1的面积是△NDD1面积的2倍,求点N的坐标.

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如图,抛物线经过A(4,0),B(1,0),C(0,-2)三点.
(1)求出抛物线的解析式;
(2)P是抛物线上一动点,过P作PM⊥x轴,垂足为M,是否存在P点,使得以A,P,M为顶点的三角形与△OAC相似?若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)在直线AC上方的抛物线上有一点D,使得△DCA的面积最大,求出点D的坐标.

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已知:如图,直线l:y=manfen5.com 满分网x+b,经过点M(0,manfen5.com 满分网),一组抛物线的顶点B1(1,y1),B2(2,y2),B3(3,y3),…,Bn(n,yn)(n为正整数)依次是直线l上的点,这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是:A1(x1,0),A2(x2,0),A3(x3,0),…An+1(xn+1,0),设x1=d(0<d<1).
(1)求b的值;
(2)求经过点A1、B1、A2的抛物线的解析式(用含d的代数式表示);
(3)定义:若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形,则这种抛物线就称为:“美丽抛物线”.探究:当d(0<d<1)的大小变化时,这组抛物线中是否存在美丽抛物线?若存在,请你求出相应的d的值.
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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