Question

某小区有一长100m，宽80m的空地，现将其建成花园广场，设计图案如下，阴影区域为绿化区（四块绿化区是全等矩形），空白区域为活动区，且四周出口一样宽，宽度不小于50m，不大于60m．预计活动区每平方米造价60元，绿化区每平方米造价50元．设每块绿化区的长边为x m，短边为y m，工程总造价为w元．
（1）写出x的取值范围；
（2）写出y与x的函数关系式；
（3）写出w与x的函数关系式；
（4）如果小区投资46.9万元，问能否完成工程任务？若能，请写出x为整数的所有工程方案；若不能，请说明理由．（参考数据：≈1.732）

Answer

本题是用函数解决实际中的面积问题，造价问题，根据题意可以列出y与x的一次函数关系，工程造价w与x二次函数关系，再利用二次函数解决实际问题．
（1）由等量关系“活动区出口的宽度+绿化区的长的2倍=空地的长”用x将宽度表示出来，再根据宽度的范围求得x的取值范围；
（2）由四周出口一样宽可得“空地的长-绿化区的长的2倍=空地的宽-绿化区的宽的2倍”列出函数关系式；
（3）由等量关系“总造价=绿化区的造价+活动区的造价”列出函数关系式；
（4）将投资总额w代入函数关系式求值，分析工程方案．
【解析】
（1）∵50≤100-2x≤60，
∴20≤x≤25；

（2）由于四周出口一样宽，100-2x=80-2y，即：y=x-10；

（3）w=4xy×50+（100×80-4xy）×60
=480000-40xy
=480000-40x（x-10）
∴w=-40x2+400x+480000；

（4）当w=469000时
-40x2+400x+480000=469000
即x2-10x-275=0解得x1=5+10，x2=5-10
∵x＞0
∴x=5+10≈22.32
因为x增大，绿化区面积会增大，从而活动区面积会减小，工程总造价会降低，
所以整数x应满足22＜x≤25．
所以，能够完成工程任务，符合条件的所有工程方案有如下三个：
①绿化区长边为23m，短边为13m；
②绿化区长边为24m，短边为14m；
③绿化区长边为25m，短边为15m．