Question

如图，抛物线E：y=x²+4x+3交x轴于A、B两点，交y轴于M点，抛物线E关于y轴对称的抛物线F交x轴于C、D两点．
（1）求F的解析式；
（2）在x轴上方的抛物线F或E上是否存在一点N，使以A、C、N、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若将抛物线E的解析式改为y=ax²+bx+c，试探索问题（2）．

Answer

（1）令y=0，可求出抛物线E与x轴的两个交点坐标，再令x=0，可求出与y轴的交点M，可以得到这三点关于y轴对称的点，设抛物线F的解析式是y=ax2+bx+3，直接把AB的对称点的坐标代入F的解析式，即可求出F的解析式．
（2）若使以A、C、N、M为顶点的四边形是平行四边形，那么应有MN∥AC，即N，M两点的纵坐标相同，可将M点的总坐标代入两抛物线的解析式中求出N点的坐标，然后看MN是否与AC的长相等即可判断出是否存在符合条件的N点．
（3）同（2）一样，也要先用代数式表示出A、C、M的坐标，然后用M的纵坐标求出N点的坐标，进而去比较MN和AC的长是否相等．
【解析】
（1）解法一：当y=0时，x2+4x+3=0，
解得x1=-3，x2=-1，
∴A、B点坐标分别为（-3，0）、（-1，0）；
当x=0时，y=3，
∴M点坐标为（0，3），A、B、M三点关于y轴得对称点分别是D、C、M，
∴D、C坐标为（3，0）、（1，0）；
设F的解析式为y=ax2+bx+3，则有：，
∴a=1，b=-4
∴抛物线F的解析式为y=x2-4x+3．
解法二：∵抛物线E与抛物线F关于y轴对称，且抛物线E：y=x2+4x+3，
∴抛物线F的方程是：y=（-x）2+4×（-x）+3=x2-4x+3，即
抛物线F的解析式为y=x2-4x+3；

（2）存在．假设MN∥AC，
∴N点的纵坐标为3．
若在抛物线F上，当y=3时，3=x2-4x+3，则x1=0，x2=4
∴N点坐标为（4，3），
∴MN=4，
由（1）可求AC=4，
∴MN=AC，
∴四边形ACNM为平行四边形．
根据抛物线F和E关于y轴对称，故N点坐标为（4，3）或（-4，3）．

（3）存在．假设MN∥AC，
∴N点的纵坐标为c．设y=0，
∴ax2+bx+c=0
∴，
∴A点坐标为（，0），
B点坐标为（，0）
∴C点坐标为（，0），
∴AC=
在抛物线E上，当y=c时，c=ax2+bx+c，x1=0，x2=
∴N点坐标为（，c）
NM=0-（）=，
∴NM=AC，
∴四边形ACMN为平行四边形．
根据抛物线F和E关于y轴对称，故N点坐标为（，c）或（，c）．