Question

如图，在△ABC中，AB=AC=5，以AB为直径的⊙P交BC于H．点A，B在x轴上，点H在y轴上，B点的坐标为（1，0）．
（1）求点A，H，C的坐标；
（2）过H点作AC的垂线交AC于E，交x轴于F，求证：EF是⊙P的切线；
（3）求经过A，O两点且顶点到x轴的距离等于4的抛物线解析式．

Answer

（1）连接AH，根据AB是⊙P的直径，先证明△HOB∽△AOH，得OH2=OA•OB，OH=2，过C点作CM⊥y轴于M，所以CH=HB，可证明△CHM≌△BHO，所以CM=OB，MH=OH，OM=4，CM=1，即A（-4，0），H（0，2），C（-1，4）．
（2）连接HP，CH=BH，AP=PB证得HP∥AC，根据EF⊥AC，可知PH⊥EF，所以EF是⊙P的切线．
（3）设抛物线方程为y=a1（x+2）2+4或y=a2（x+2）2-4，由抛物线的顶点坐标为（-2，4）或（-2，-4）可知，分别代入x=0，y=0得：a1=-1，a2=1，可求抛物线的解析式为y=-（x+2）2+4或y=（x+2）2-4．
【解析】
如图
（1）连接AH，
∵AB是⊙P的直径，
∴∠AHB=90°（1分）
∵∠HOB=90°，∠OHB=∠HAO，
∴△HOB∽△AOH
∴OH2=OA•OB，
∴OH2=4×1
∴OH=2（2分）
过C点作CM⊥y轴于M，
∵AB=AC，∠AHB=90°
∴CH=HB（3分）
∵∠CHM=∠OHB，△CHM≌△BHO
∴CM=OB，MH=OH，
∴OM=4，CM=1，（4分）
∴A（-4，0），H（0，2），C（-1，4）（写错一个不扣分）（5分）
（或过C点作CM⊥x轴于M，用中位线定理求得OM=1，CM=4）．

（2）证法一：连接HP，
∵CH=BH，AP=PB，
∴HP∥AC，（6分）
∵EF⊥AC，
∴PH⊥EF，（7分）
∴EF是⊙P的切线．（8分）
证法二：
∵AB=AC，
∴∠ACH=∠ABH，
∵HP=PB，
∴∠PHB=∠PBH
∴∠PHB=∠ACH（6分）
∵∠ACH+∠EHC=90°，∠EHC=∠BHF
∴∠PHB+∠BHF=90°（7分）
∴EF是⊙P的切线．（8分）

（3）解法一：
由题意知：抛物线的顶点坐标为（-2，4）或（-2，-4），（9分）
设抛物线方程为y=a1（x+2）2+4或y=a2（x+2）2-4（10分），
分别代入x=0，y=0得：a1=-1，a2=1，（11分）
∴抛物线的解析式为y=-（x+2）2+4或y=（x+2）2-4．（12分）
解法二：（简要过程）
设抛物线的方程为y=ax2+bx+c，代入顶点坐标（-2，4）或（-2，-4）（9分）
以及（0，0），（-4，0）得两个三元一次方程组，（10分）
解方程组得c1=0，a1=-1，b1=-4；c2=0，a2=1，b2=4；（11分）
∴抛物线的解析式为y=x2+4x或y=-x2-4x．（12分）