Question

已知二次函数y=x²-x+c．
（1）若点A（-1，n）、B（2，2n-1）在二次函数y=x²-x+c的图象上，求此二次函数的最小值；
（2）若点D（x₁，y₁）、E（x₂，y₂）、P（m，m）（m＞0）在二次函数y=x²-x+c的图象上，且D、E两点关于坐标原点成中心对称，连接OP．当2≤OP≤2+时，试判断直线DE与抛物线y=x²-x+c+的交点个数，并说明理由．

Answer

（1）将A，B的坐标代入抛物线的解析式中，可得出关于n、c两个未知数的二元一次方程组，可求出n、c的值，进而可得出抛物线的解析式．根据抛物线的解析式可用公式法或配方法求出函数的最小值．
（2）求直线DE与抛物线有几个交点，可联立两函数的解析式，得出一个二元一次方程，然后根据△的不同取值范围，来判断交点的个数．因此关键是求出DE所在直线的解析式．可设DE的解析式为y=kx，那么根据直线与二次函数y=x2-x+c交于D、E两点，可联立两式得出一个关于x的二元一次方程，由于两根互为相反数，因此-=0，可求出k的值，即可确定出直线DE的解析式．已知了OP的取值范围，由于OP=m（根据P的坐标即可求出）．因此可得出m的取值范围．然后将P点坐标代入抛物线y=x2-x+c中即可得出c的取值范围．
然后可联立y=-x与y=x2-x+c+，可得出一个二元一次方程，根据△的不同取值范围以及求出的c的取值范围即可判定出两函数的交点个数．
【解析】

（1）由题意得
解得
∴二次函数y=x2-x-1的最小值是-．

（2）【解析】
∵点P（m，m）（m＞0），
∴PO=m．
∴2≤m≤+2．
∴2≤m≤1+．
∵2≤m≤1+，
∴1≤m-1≤．
∴1≤（m-1）2≤2．
∵点P（m，m）（m＞0）在二次函数y=x2-x+c的图象上，
∴m=m2-m+c，即1-c=（m-1）2．
∴1≤1-c≤2．
∴-1≤c≤0．
∵点x1，x2关于原点对称．
设直线DE：y=kx．
则根据题意有kx=x2-x+c，
即x2-（k+1）x+c=0．
∵-1≤c≤0，
∴（k+1）2-4c≥0．
∴方程x2-（k+1）x+c=0有实数根．
∵x1+x2=0，
∴k+1=0．
∴k=-1．
∴直线DE：y=-x．
若
则有x2+c+=0．即x2=-c-．
当-c-=0时，
即c=-时，方程x2=-c-有相同的实数根，
即直线y=-x与抛物线y=x2-x+c+有唯一交点．
②当-c-＞0时，
即c＜-时，即-1≤c＜-时，
方程x2=-c-有两个不同实数根，
即直线y=-x与抛物线y=x2-x+c+有两个不同的交点．
③当-c-＜0时，即c＞-时，即-＜c≤0时，
方程x2=-c-没有实数根，
即直线y=-x与抛物线y=x2-x+c+没有交点．