Question

如图，在平面直角坐标系xoy中，等腰梯形OABC的下底边OA在x轴的正半轴上，BC∥OA，OC=AB．tan∠BA0=，点B的坐标为（7，4）．
（1）求点A、C的坐标；
（2）求经过点0、B、C的抛物线的解析式；
（3）在第一象限内（2）中的抛物线上是否存在一点P，使得经过点P且与等腰梯形一腰平行的直线将该梯形分成面积相等的两部分？若存在，请求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）本题可通过构建直角三角形来求解，过C作CD⊥OA于D，过B作BE⊥OA于E，在直角三角形OCD和ABE中，可根据B点的纵坐标即CD，BE的长和两底角的正切值求出AE，OD的长，即可求出C、A的坐标．
（2）根据已知的三点坐标即可用待定系数法求出抛物线的解析式．
（3）应该有两个符合条件的P点，以过P且平行于AB的直线为例说明：可设过P且平行于等腰梯形一腰AB的直线与BC、OA的交点为M、N，那么平行四边形MBAN的面积就是梯形面积的一半，据此可求出BM，AN的长，即可求出BM、AN的长，即可求出M、N的坐标也就求出了直线MN的解析式和抛物线的解析式即可求出P点的坐标，根据抛物线和等腰梯形的对称性，求出的P点关于抛物线对称轴的对称点也应该符合题意．
【解析】
（1）过C作CD⊥OA于D，过B作BE⊥OA于E，
在直角三角形ABE中，BE=4，tan∠BAE=，
∴AE=3，同理可求得OD=3．
因此C（3，4），A（10，0）．

（2）设抛物线的解析式为y=ax2+bx，
则有：，
解得，
∴y=-x2+x．

（3）假设存在这样的P点，设过P点且与BA平行的直线交BC于M，交AO于N．
易知：BC=DE=4，OA=10，CD=4，
∴S梯形ABCO=（BC+OA）•CD=28．
∴S▱ANMB=S梯形ABCO=14
∴BM=AN=
∴M（，4），N（，0）
∴直线MN的解析式为：y=-x+，联立抛物线的解析式有：
，
解得（不合题意舍去），．
∴P（，）．
根据抛物线和等腰梯形的对称性可知P点关于抛物线对称轴的对称点也应该符合题意，
因此符合条件的P点有两个：P（，），（，）．