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如图,AB是⊙O的直径,BD是⊙O的弦,延长BD到点C,使DC=BD,连接AC,...

如图,AB是⊙O的直径,BD是⊙O的弦,延长BD到点C,使DC=BD,连接AC,过点D作DE⊥AC,垂足为E.
(1)求证:AB=AC;
(2)求证:DE为⊙O的切线;
(3)若⊙O的半径为5,∠BAC=60°,求DE的长.

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(1)根据垂直平分线的判断方法与性质易得AD是BC的垂直平分线,故可得AB=AC; (2)连接OD,由平行线的性质,易得OD⊥DE,且DE过圆周上一点D故DE为⊙O的切线; (3)由AB=AC,∠BAC=60°知△ABC是等边三角形,根据等边三角形的性质,可得AB=BC=10,CD=BC=5;又∠C=60°,借助三角函数的定义,可得答案. (1)证明:∵AB是⊙O的直径, ∴∠ADB=90°; ∵BD=CD, ∴AD是BC的垂直平分线. ∴AB=AC.(3分) (2)证明:连接OD, ∵点O、D分别是AB、BC的中点, ∴OD∥AC. ∵DE⊥AC, ∴OD⊥DE. ∴DE为⊙O的切线.(6分) (3)【解析】 由AB=AC,∠BAC=60°知△ABC是等边三角形, ∵⊙O的半径为5, ∴AB=BC=10,CD=BC=5. ∵∠C=60°, ∴DE=CD•sin60°=.(9分)
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考点分析:
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已知:如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于点D,过点D作DE⊥AC于点E.求证:DE是⊙O的切线.

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(1)求证:DE与⊙O相切;
(2)若⊙O的半径为manfen5.com 满分网,DE=3,求AE.

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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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