Question

如图，平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于A（3，0），B（0，）两点．
（1）求直线AB的解析式；
（2）在第一象限内是否存在点P，使得以P、O、B为顶点的三角形与△OBA相似？若存在，请画出所有符合条件的点P，并求其中一个点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）求出直线斜率k和截距b，直线解析式就可以写出了．
（2）△OBA中，已经有一直角，再找一锐角相等就可以了．
【解析】
（1）设函数解析式为y=kx+b，
根据题意，
解得，
∴．

（2）过O作OP⊥AB垂足为P，得△OBA∽△PBO，
过B作BP″⊥y轴，使BP″=OA，连接OP″，得△OBA∽△BOP″，
过B作BP′⊥OP″，垂足为P′，得△OBA∽△P′OB，
由题可得OA=3，OB=，AB=2，∠OAB=30°．
①若△BOP∽△OBA，则∠BPO=∠BAO=30°，BP=OB=3，
∴P1（3，）；
②若△BPO∽△OAB，则∠BOP=∠BAO=30°，OP=OB=1，
∴P2（1，）；
③当∠OPB=90°时，
过点P作OP⊥BC（如图），此时△PBO∽△OAB，∠BOP=∠BAO=30°，过点P作PM⊥OA，
在Rt△PBO中，BP=OB=，OP=BP=，
∵在Rt△PMO中，∠OPM=60°，
∴OM=OP=，PM=OM=，
∴P3（，）；

④若△POB∽△OAB，则∠OBP=∠BAO=30°，∠P4OM=90°-（90°-30°）=30°，
∴P4M=OM=，
∴P4（，）．
当∠OPB=90°时，点P在x轴上，不符合要求．
故符合条件的点有四个：P1（3，），P2（1，），P3（，），P4（，）．