Question

正方形ABCD中，点E、F分别在AB和BC上，且DE⊥EF，
（1）求证：△ADE∽△EBF；
（2）△DEF和△DEC相似吗？若相似，请给出证明，若不相似，请举一个反例说明．

Answer

（1）可根据余角的性质得到∠ADE=∠BEF，已知一组直角相等，则可根据有两组角对应相等的三角形相似来判定：△ADE∽△EBF；
（2）连接CE，假设△DEF∽△DEC，由于△DEF中有一个直角，则说明△DEC中有一个角等于90°，而根据图形可知△DEC中的三个角都小于90°，故假设错误，两三角形不相似．
证明：（1）∵正方形ABCD中，点E、F分别在AB和BC上，且DE⊥EF，
∴∠ADE+∠AED=90°，∠BEF+∠AED=90°，∠A=∠B=90°，
∴∠ADE=∠BEF，
∴△ADE∽△EBF；

（2）不相似，连接CE，先假设△DEF∽△DEC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
又∵DE⊥EF，
∴∠DEF=90°，
又∵△DEF∽△DEC，
∴△DEC中必有一个直角，
又∵∠EDC、∠DCE、∠DEC＜90°，
∴假设错误，△DEF和△DEC不相似．