Question

如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O交AB于D，OE∥AB交BC于E，连DE．
（1）求证：DE为⊙O切线；
（2）若⊙O的半径为3，DE=4，求AD之长．

Answer

（1）连OD，证明△OED≌△OEC，从而得到∠ODE=90°．
（2）连CD，可得CD⊥AB，再证明ED直角三角形BCD斜边的中线，可得BC，利用面积法求出CD，再利用勾股定理求AD．
（1）证明：连接OD，如图；
∵OE∥AB，
∴∠ODA=∠DOE，∠OAD=∠COE．（1分）
∵OD=OA，
∴∠ODA=∠OAD．
∴∠DOE=∠COE．
又∵OC=OD，OE=OE，
∴△OED≌△OEC．（3分）
∴∠ECO=∠EDO．
∵∠ECO=90°，
∴∠EDO=90°．
∴DE为⊙O切线．（4分）

（2）【解析】
连接CD，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC=90°．（5分）
∵ED、EC是⊙O的切线，
∴ED=EC，又∠BDC=90°．
∴ED=EC=EB=4．
∴在Rt△ACB中，AB=10．（6分）
∵AC•BC=AB•CD，
∴CD=4.8．（7分）
∴在Rt△ADC中AD=．（8分）
〔其他解法类似给分〕