Question

已知：G是⊙O的半径OA的中点，OA=，GB⊥OA交⊙O于B，弦AC⊥OB于F，交BG于D，连接DO并延长交⊙O于E．下列结论：
①∠CEO=45°；②∠C=75°；③CD=2；④CE=．
其中一定成立的是（ ）

A．①②③④
B．①②④
C．①③④
D．②③④

Answer

①据30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得∠OBG=30°，∠BOG=60°；可求得∠OAF=30°，连接OC，证明OC⊥OD，可得△OCE为等腰直角三角形，可得∠CEO=45°；
②∠C=∠ECO+∠OCD，说明∠OCF=30°即可得出∠C=75°；
③利用直角△COD的余弦函数，由∠OCD=30°，可求出CD=2；
④利用直角三角形的勾股定理，在△CEO中，可求得CE=．
【解析】
∵G是⊙O的半径OA的中点，OA=，
∴OG=，
∵OB=OC=OE=OA=，
∴OG=OB，
∴∠OBG=30°，∠BOG=60°，
∴∠A=30°，
∵DG=DG，∠DGO=∠DGA=90°，OG=GA，
∴△DGO≌△DGA（SAS），
∴∠DOG=30°；
同理可证得∠DOF=30°，
∴∠ODF=60°．
又∵同理可证△COF≌△AOF，
∴∠OCF=30°．
∴∠OCF+∠ODF=90°，
∴∠DOC=90°，
∴OC⊥OD，
又∵OC=OE，
∴∠OCE=∠CEO=45°，故①结论成立；
∴∠C=∠OCF+∠OCE=30°+45°=75°，故②结论成立；
∵在直角△COD中，=，
∵OC=，
∴CD=2，故③结论成立；
∵在直角△COE中，CE===，∴④结论成立；
综上所述，故选A．