Question

如图，在等腰梯形ABCD中，∠DCB=60°，AD∥BC，且AD=DC． E，F分别在AD，DC的延长线上，且DE=CF、AF，BE交于点P，且分别交DC，BC于点H，G．
（1）求证：AF=BE；
（2）请你猜测∠BPF的度数，并证明你的结论；
（3）延长BA，CD相交于M，若AD=24，BP=27，试求三角形MBP和三角形MBH的面积比．

Answer

（1）根据SAS判定△BAE≌△ADF，由全等三角形的性质得出BE=AF．
（2）由△BAE≌△ADF得出∠ABE=∠DAF，进而得到∠BPF=∠BAE，再根据AD与BC平行，得出∠BPF的度数．
（3）延长BA，CD交于点M，首先证明△ABP∽△HBM，根据相似三角形的对应边成比例，求出HB的长度，再根据同高的三角形的面积之比等于其对应的底边长之比得出三角形MBP和三角形MBH的面积比．
【解析】
（1）∵AB=CD，AD=DC，
∴BA=AD，∠BAE=∠ADF，
∵DE=CF，
∴AE=DF，
∴△BAE≌△ADF（SAS）．
∴BE=AF．（3分）

（2）猜测∠BPF=120°．（1分）
∵由（1）△BAE≌△ADF，
∴∠ABE=∠DAF．
∴∠BPF=∠ABE+∠BAP=∠DAF+∠BAP=∠BAE．
而AD∥BC，∠DCB=∠ABC=60°，
∴∠BPF=120°．（3分）

（3）延长BA，CD交于点M，则△MBC为正三角形．
∵∠BPF=120°，
∴∠APB=∠M=60°．
而∠ABP=∠HBM，
∴△ABP∽△HBM．
∴，即．
∴
则S△MBP：S△MBH=BP：BH=81：128．（5分）