Question

已知：如图，菱形ABCD中，∠A=120°，过C分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F，与对角线BD相交于G、H．
求证：（1）△GBC≌△HDC；（2）△CGH是等边三角形．

Answer

（1）由∠A=120°，CE、CF分别垂直于AB、AC，求得∠ABC=∠ADC=60°，∠BCE=∠DCF=30°，从而证得△GBC≌△HDC；
（2）由△GBC≌△HDC可得CG=CH，根据∠CGH是△BCG的外角，可得等于60°，根据由一个角为60°，的等腰三角形是等边三角形得出结论．
证明：（1）∵ABCD为菱形，∠A=120°，
∴∠B=∠D=60°．（2分）
又∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴∠BCG=∠HDC=30°．（4分）
又∵BD为对角线，
∴∠CBG=∠HDC=30°．（5分）
BC=DC．（6分）
∴△GBC≌△HDC．（7分）

（2）∴CG=CH，
∴∠GCH=60°．（9分）
∴△CGH为等边三角形．（10分）