Question

P是等边△ABC内部一点，∠APB、∠BPC、∠CPA的大小之比是5：6：7，所以PA、PB、PC的长为边的三角形的三个角的大小之比是    ．

Answer

分析已知条件∠APB：∠BPC：∠CPA=5：6：7 5+6+7=18，
∠APB+∠BPC+∠CPA=360°，
，
于是∠APB=5×20=100°，
∠BPC=6×20=120°，
∠CPA=7×20=140°，
其次如何用PA、PB、PC组成一个三角形，
观察图上条件PA、PB在左边，PC在右边，三条射线不会成为三角形，
如果把PB、PA移到右边来，便可构成以PA、PB、PC为边的三角形，因此必须移动．
【解析】
如图所示：
将含有PA、PB边的三角形△BPA，以B为轴心，顺时针方向旋转60°，
则将△BPA移到△BDC，△BDC≌△BPA，BP=BD DC=PA，∠BDC=100°，
因为旋转60°，所以△BDP为等边形，等边三角形，三边相等，三角相等都是60°，
给我们解题极大方便，因为PD=PB，△PDC即由，
PA、PB、PC构成的三角形∠DPC=120°-60°=60°，
∠PDC=100°-60°=40°，
∠DCP=180°-60°-40°=80°，
40：60：80=2：3：4，
（其实这种解题方法思路是十分清晰的，为了把三条分散的射线构成一个三角形，
自然要把PB、PA所在的△PAB，整体移到PC这一边，BA移60°到BC和BC重合，P落到D上．
因为移动60°构成了△PBD为等边形PB=BD=PD，于是△PDC就是PA、PB、PC，构成的三角形，
由于AB=BC，AB与BC重合△ABP≌△BCD，保留了原来已知条件，即BD=BP，DC=PA，
∠BDC=100°移动60°构成的△PBD等边等角，
于是顺理成章的把PB用等长线把PD代替，这样才能构成△PDC，PD=PB，DC=PA，
∴△PDC为PA、PB、PC三条线段构成的三角形．
已知条件∠BPC=120°，仍然保留∠DPC=120°-60°=60°，
∠BDC=100°仍然保留∠PDC=100°-60°=40°，
∠PCD=180°-60°-40°=80°，
（40：60：80=2：3：4．）