Question

如图，正比例函数y₁=k₁x的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为（1，2）．
（1）分别求出这两个函数的表达式；
（2）请你观察图象，写出y₁＞y₂时，x的取值范围；
（3）在y轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，请你直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）设直线方程为y1=k1x，反比例函数y=，两图象都经过点A，解得k1和k2，
（2）解得两交点的坐标，观察图象写出x的取值范围，
（3）存在4种情况的点P，OP为腰和底两种情况，分别求出OP．
（1）【解析】
∵y1=k1x过点A（1，2），
∴k1=2．（2分）
∴正比例函数的表达式为y1=2x．（3分）
∵反比例函数过点A（1，2），
∴k2=2．（5分）
∴反比例函数的表达式为y=．（6分）

（2）-1＜x＜0或x＞1．（8分）

（3）∵点A的坐标为（1，2），
∴OA=，
当OA为腰时，OA=OP2=，P2点坐标为（0，4），
当AP1=OA=，可知P1坐标为（0，），
当OA=OP3=时，可得P3坐标为（0，-）
由图可知，P1（0，），P2（0，-），P3（0，4），
当OA为底时，OP4==，
可知P4（0，），
故P1（0，），P2（0，-），P3（0，4），P4（0，）．（12分）