Question

已知：如图，平面直角坐标系中，半圆的直径AB在x轴上，圆心为D．半圆交y轴于点C，AC=2，BC=4．
（1）证明：△AOC∽△ACB；
（2）求以AO、BO两线段长为根的一元二次方程；
（3）求图象经过A、B、C三点的二次函数的表达式；
（4）设此抛物线的顶点为E，连接EC，试判断直线EC与⊙O的位置关系，并说明理由．

Answer

（1）根据圆的知识求出∠AOC=∠ACB，∠CAO=∠BAC然后可证明△AOC∽△ACB．
（2）由1得出相似三角形继而求出线段比．求出AO==2得解．
（3）设经过A、B、C三点的二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，把已知坐标代入求出函数表达式．
（4）把函数表达式化简求出点E的坐标，然后连接EC，CD，ED，根据勾股定理求证∠DCE=90°，即可知直线EC与⊙D的位置关系是相切．
（1）证明：∵AB为半圆O的直径，
∴∠ACB=90°．
∴∠AOC=∠ACB，∠CAO=∠BAC．
∴△AOC∽△ACB．

（2）【解析】
AB==10，
∵△AOC∽△ACB，
∴．
∴AO==2，BO=AB-AO=8．
∴以AO、BO两线段长为根的一元二次方程为（ x-2 ）（ x-8 ）=0；

（3）【解析】
在Rt△AOC中，OC=4，
∴A（-2，0），B（8，0），C（0，4）．
设经过A、B、C三点的二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），依题意有：
∴，
∴
∴表达式为：y=-x2+x+4．

（4）直线EC与⊙D相切，理由如下：
∵，
∴顶点E的坐标为（3，）．
连接EC、CD、ED，则CD=AD=5，ED=．
∴CF=3，EF=，CE=．
∴CD2+CE2=，DE2=．
∴CD2+CE2=DE2．
∴∠DCE=90°，CD为半径．
∴直线EC与⊙D的位置关系是相切．