Question

如图，抛物线与x轴相交于点A（-4，0），B（-2，0），直线AC过抛物线上的点C（-1，3）．
（1）求此抛物线和直线AC的解析式；
（2）设抛物线的顶点是D，直线AC与抛物线的对称轴相交于点E，点F是直线DE上的一个动点，求FB+FC的最小值；
（3）若点P在直线AC上，问在平面上是否存在点Q，使得以点A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）设交点式y=a（x+4）（x+2）．
（2）点B的关于直线DE对称点是点A，连AC交DE，交点就是F点．
（3）首先要分类，若AB为对角线，利用菱形对角线相互垂直平分，若AB为边，四边都等于2．
【解析】
（1）设该抛物线的解析式是y=a（x+4）（x+2）
把C（-1，3）代入得，
a=1．
∴该抛物线的解析式是y=x2+6x+8
设直线AC的解析式是y=kx+b
把A（-4，0），C（-1，3）代入得，

解得
∴直线AC的解析式是y=x+4（4分）

（2）∵点A、B关于直线DE对称，
∴FB=FA（6分）
∴FB+FC=FA+FC
当点F与点E重合时，FB+FC最小，最小值是（8分）

（3）当AB为菱形的对角线时，
菱形的另外两个顶点在线段AB的中垂线上，
而点P又在直线AC上，
∴点P的坐标是P（-3，1）
∴Q1（-3，-1）（9分）
当AB为菱形的一边时，
①当AP=2时，点P是以A为圆心，2为半径的圆与直线AC的交点．
∴点P的坐标是或
∴，（11分）
②当BP=2时，点P是以B为圆心，2为半径的圆与直线AC的交点．
∴点P的坐标是（-2，2）
∴Q4（-4，2）
∴在平面上存在点Q1（-3，-1），，，Q4（-4，2），使得以点A，B，P，Q为顶点的四边形是菱形．（12分）