Question

等边三角形ABC内接于⊙0，连接OA，OB，OC，延长AO分别交BC于点P，于点D，连接BD，CD．
（1）判断四边形BDCO是哪一种特殊四边形，并说明理由；
（2）若等边三角形ABC的边长，求⊙0的半径；
（3）在劣弧上有一点Q，请求出弓形BQD的面积．

Answer

（1）可先由四边形各角的大小求出各边之间的关系，然后即可判断四边形BDCO为何种特殊四边形；
（2）先由菱形性质求出BP的长，再由等边三角形性质及求出∠POB的角度，然后即可由三角形边角关系求出OB的长，即⊙0的半径；
（3）弓形BQD的面积可由求扇形OBD与三角形OBD之差间接求得．
【解析】
（1）四边形BDCO是菱形理由如下：
∵AB=BC=AC，
∴∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，
∴∠BOD=180°-∠AOB=60°，
∴∠COD=180°-∠AOC=60°；
又∵OB=OD三角形OBD为正三角形，
∴OB=OD=BD同理可得OC=CD，
∴OB=OC=BO=CD即四边形BDCO是菱形；（3分）

（2）由菱形性质可知，；
∵△ABC为等边三角形，∠PBO=30°，OP=3，BO=6，
∴⊙O的半径OB为6．（3分）

（3）=．（2分）